funktionsuntersuchung (kurvend < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] f(x)=3x^4+4x^3 [/mm] |
An dieser Gleichung soll ich eine komplette Funktionsuntersuchung vornehmen, wobei ich bereits die Nullstellen berechnet habe. N1(0I0);N2(bruch{4}{3}/3I0); N3(-4I0), nun sollen noch die Extremstellen ermittelt werden, wobei ich die erste Ableitung gleich null gesetzt habe. Dabei kam heraus
x4=0: x5=0,2; x6=-1,2
wie muss ich weiter vorgehen, um die jeweiligen Hoch- oder Tiefpunkte oder eventuelle Wendepunkte zu ermitteln?
Vielen Dank schon mal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 26.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]f(x)=3x^4+4x^3[/mm]
> An dieser Gleichung soll ich eine komplette
> Funktionsuntersuchung vornehmen, wobei ich bereits die
> Nullstellen berechnet habe. N1(0I0);N2(bruch{4}{3}/3I0);
> N3(-4I0), nun sollen noch die Extremstellen ermittelt
> werden, wobei ich die erste Ableitung gleich null gesetzt
> habe. Dabei kam heraus
> x4=0: x5=0,2; x6=-1,2
Hallo
Bis hierher ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , der Rechenweg passt.
> wie muss ich weiter vorgehen, um die jeweiligen Hoch-
> oder Tiefpunkte oder eventuelle Wendepunkte zu ermitteln?
Zuallererst brauchst du die nächsten Ableitungen.
Un zu prüfen, ob eine Extremstelle vorliegt, setze die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Abl. ein. Gilt [mm] f''(x_{e}) [/mm] < 0, ist es ein Hochpunkt, gilt [mm] f''(x_{e}) [/mm] > 0, ein Hochpunkt.
Die y-Koordinate des Punktes ist [mm] f(x_{e}).
[/mm]
Um die Wendepunkte [mm] x_{w} [/mm] zu berechnen, brauchst du die Nullstellen der zweiten Abl. Gilt [mm] f'''(x_{w}) \not= [/mm] 0, hast du einen Wendepunkt [mm] (x_{w}; f(x_{w}).
[/mm]
Hilft das weiter?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Sa 26.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.
Ich habe das für [mm] 3x^{4} [/mm] + 4x gehalten.
>
> [mm]f(x)=3x^4+4x^3[/mm]
Marius
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f''(0)=0
f''(0,2)=6,24
f''(-1,2)=23,04
ist das so richtig?
sagen mir diese Werte jetzt was über Hoch und Tiefpunkt aus?
Vielen Dank für deine Hilfe
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> f''(0)=0
> f''(0,2)=6,24
> f''(-1,2)=23,04
> ist das so richtig?
> sagen mir diese Werte jetzt was über Hoch und Tiefpunkt
> aus?
gar nichts ... ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
Aber ich habe dir ja schon ein paar Tipps gegeben...
Gruß informix
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also heisst dieses "gar nichts" jetzt, dass meine berechnungen nicht stimmen oder sagen sie nur nichts über hoch oder tiefpinkt aus?ich habe die nullstellen, die ich berechnet habe indem ich die erste ableitung gleich null gesetzt habe
[mm] f'(x)=12x^3+12x^2=0
[/mm]
ergebnisse: x1=0; x2=0,2, x3=+1,2
diese habe ich dann in die zweite ableitung eingesetzt
[mm] ''(x)=36x^2+24x
[/mm]
daraus kamen dann die im vorherigen artikel genannten ergebnisse. das war ja anscheinend falsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 So 27.08.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo,
> [mm]f'(x)=12x^3+12x^2=0[/mm]
> ergebnisse: x1=0; x2=0,2, x3=+1,2
Diese Ergebnisse sind leider falsch (außer [mm] x_1). [/mm] Informix hatte Dir ja schon ein weiteres richtiges Ergebnis geliefert.
> diese habe ich dann in die zweite ableitung eingesetzt
> [mm]''(x)=36x^2+24x[/mm]
Das wäre dann durchaus der richtige Weg gewesen.
Aus dem Vorzeichen des Ergebnissed daraus hättest Du dann auf Hoch-/Tiefpunkt schließen können.
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 So 27.08.2006 | | Autor: | Christian |
Hallo informix.
Naja... gar nichts stimmt auch nicht. Man weiß zumindest, da es sich um eine Funktion vierten Grades mit positivem ersten Koeffizienten handelt, daß es sich bei der ersten Extremstelle um ein Minimum handelt, da es danach offensichtlich hochgeht. Und alldieweil 0 sogar eine dreifache Nullstelle ist, weiß man, daß dort ein Sattelpunkt vorliegen muß.
Mangels weiterer Möglichkeiten muß die Funktion ab da wohl oder übel wachsen, woraus wiederum anhand der Eigenschaften der 2. Nullstelle folgt, daß der Wendepunkt dort liegen muß.
Um diese ganzen verwendeten Minisätzchen zu beweisen, muß man allerdings wieder differenzieren, und da beißt sich die Katze in den Schwanz 
Liebe Grüße,
Christian
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Hallo mathe_hasserin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]f(x)=3x^4+4x^3[/mm]
> An dieser Gleichung soll ich eine komplette
> Funktionsuntersuchung vornehmen, wobei ich bereits die
> Nullstellen berechnet habe. [mm] N1(0I0);N2(\bruch{4}{3}/3I0); [/mm]
> N3(-4I0), ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> nun sollen noch die Extremstellen ermittelt
> werden, wobei ich die erste Ableitung gleich null gesetzt
> habe. Dabei kam heraus
> x4=0: x5=0,2; x6=-1,2
> wie muss ich weiter vorgehen, um die jeweiligen Hoch-
> oder Tiefpunkte oder eventuelle Wendepunkte zu ermitteln?
> Vielen Dank schon mal im Vorraus
Ich kann deine Ergebnisse nicht ganz lesen, es wäre schön, wenn du auch die 1. Ableitung notiert hättest, weil wir dann leichter deinen Rechengang überprüfen können.
[mm]f(x)=3x^4+4x^3 = x^3(3x+4)=0[/mm]
Damit kann man die Nullstellen ablesen und gleich konstatieren, dass bei x=0 eine dreifache Nullstelle [mm] \Rightarrow [/mm] Extremstelle [mm] \Rightarrow [/mm] Wendestelle vorliegt.
$f'(x) = [mm] 12x^3+12x^2 [/mm] = [mm] 12x^2(x+1)=0$ \Rightarrow [/mm] weitere Extremstelle bei x=-1
[mm] $f''(x)=36x^2+24x [/mm] = 12x(3x+2)=0$ [mm] \Rightarrow [/mm] Wendestellen bei x=0 und [mm] $x=-\bruch{2}{3}$
[/mm]
Warum man das so macht, liest du am besten  hier in unserer MatheBank nach.
Einen schnellen Überblick für den Graphen der Funktion bekommst du mit ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi,
Schreibe noch einmal die gesamte Funktionsuntersuchung auf. :)
[mm] f:f(x)=3x^4+4x^3
[/mm]
1. Ableitungen
[mm] f':f'(x)=12x^3+12x^2
[/mm]
[mm] f'':f''(x)=36x^2+24x
[/mm]
$f''':f'''(x)=72x+24$
2. Definitionsbereich
[mm] D=\IR
[/mm]
[mm] \IW=\IR\in[-1;+\infty[
[/mm]
3. Verhalten im Unendlichen (kannst du am Graphen ablesen)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
4. Symmetrie
Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten im Term auftreten,
besteht keine Symmetrie.
5. Nullstellen
Notwendige/Hinreichende Bedingung: [mm] f(x_{0})=0.
[/mm]
[mm] f(x)=0\gdw3x^4+4x^3=0
[/mm]
[mm] \gdw x^3(3x+4)=0
[/mm]
[mm] \gdw x^3=0 \vee 3x_{2}+4=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1/2/3}=0 \vee x_{2}=-\bruch{4}{3}
[/mm]
[mm] NS_{1}(0|0)
[/mm]
[mm] NS_{2}(0|0)
[/mm]
[mm] NS_{3}(0|0)
[/mm]
[mm] NS_{4}(-\bruch{4}{3}|0)
[/mm]
6. Extremstellen
Notwendige Bedingung: [mm] f'(x_{0})=0.
[/mm]
[mm] f'(x)=0\gdw12x^3+12x^2=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2(12x+12)=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2=0\vee12x+12=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1/2}=0\vee x_{3}=-1
[/mm]
Hinreichende Bedingung: [mm] f'(x_{0})=0 \wedge f''(x_{0})\not=0.
[/mm]
$f''(0)=0$, also auf Vorzeichenwechsel bei der 1. Ableitung überprüfen:
$f'(-1)=0$
$f'(1)=24$
kein VZW, also Sattelpunkt bei $ S(0|0) $.
$f''(-1)=12 > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] T(-1|-1)$
7. Wendestellen
Notwendige Bedingung: [mm] $f''(x_{0})=0.$
[/mm]
[mm] $f''(x)=0\gdw36x^2+24x=0$
[/mm]
[mm] \gdw12x(3x+2)=0
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}=0 \vee$3x_{2}+2=0$
[/mm]
[mm] \gdw x_{1}=0 \vee$x_{2}=-\bruch{2}{3}$ [/mm]
Hinreichende Bedingung: [mm] $f''(x_{0})=0 \wedge f'''(x_{0})\not=0.$
[/mm]
$f'''(0)=24$ [mm] \Rightarrow [/mm] den Sattelpunkt haben wir ja vorhin schon bestimmt.
[mm] $f'''(-\bruch{2}{3})=-\bruch{144}{3}+24 [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow W_{Links-Rechts-Kruemmung}(-\bruch{2}{3}|f(-\bruch{2}{3})=\bruch{-48}{81})$
[/mm]
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