funktionsschar + gerade < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | gegeben ist folgende funktionsshar mit den graühen a:
fa (x) = ax³- x² - x/a , a [mm] \not= [/mm] 0
aufgabe 1a)
Bestimme für a = 1 die nullstellen, extrempunkten und wendepunkte des graphen G1
|
hi
also ich habe mit GTR (taschenrechner) gerechnet
für die nullstellen hab ich
x1 = -0.6 und y1 = 0
x2 = 0 und y2 =0
x3 = 1.6 und y3 = 0
für die extre,punkte hab ich:
T (-0.03/0.18) H(1.36/-0.69)
Nun zum wendepunkt :
..ich habe eine rechnung durchgeführt, aber ich glaube dies ist falsch..:
als erstes hab ich die erste Ableitung der Funktionsshar aufgeschrieben:
fa(x) = 1x³ - x ² - x/1
fa´(x) = 3x² - 2x - x ^-2
weil der wendepunkt in der ausgangsfunktion im ersten ableitung zur extremstellen werden und ich dachte ich kann i-wie daraus den wendeepunkt ausrechnen ... aber ich glaube ich liege genau da nebem :/
hmm... ich weiß nicht wie ich den wendepunkt rechnen soll ich hoffe einer kann mir dabai helfen...
danke mich im voraus
schöne grüße
Su92
|
|
| |
|
Hallo su92,
> gegeben ist folgende funktionsshar mit den graühen a:
Kannst du das mal übersetzen?
Gib dir unbedingt mehr Mühe beim Eintippen, du darfst ruhig auch Großbuchstaben für Nomen verwenden.
Das tut gar nicht weh und kommt dem geneigten Helfer nur entgegen!
> fa (x) = ax³- x² - x/a , a [mm]\not=[/mm] 0
>
> aufgabe 1a)
> Bestimme für a = 1 die nullstellen, extrempunkten und
> wendepunkte des graphen G1
>
>
> hi
> also ich habe mit GTR (taschenrechner) gerechnet
> für die nullstellen hab ich
> x1 = -0.6 und y1 = 0
> x2 = 0 und y2 =0
> x3 = 1.6 und y3 = 0
Rechne das mal ohne den Scheiß TR, dann bekommst du schönere und vor allem genauere Werte, die Aufgabe ist nicht so schwer, dass man die NSTen nicht mal zu Fuß berechnen könnte ...
Mann Mann
>
> für die extre,punkte hab ich:
>
> T (-0.03/0.18) H(1.36/-0.69) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Rechne lieber zu Fuß als mit dem TR!
Wie lautet die 1.Ableitung? Wie sind die Nullstellen derselben?
>
> Nun zum wendepunkt :
> ..ich habe eine rechnung durchgeführt, aber ich glaube
> dies ist falsch..:
>
> als erstes hab ich die erste Ableitung der Funktionsshar
Das heißt "..schar"
> aufgeschrieben:
>
> fa(x) = 1x³ - x ² - x/1
> fa´(x) = 3x² - 2x - x ^-2
Es ist doch [mm] $\frac{x}{1}=x$, [/mm] also [mm] $f_1(x)=x^3-x^2-x$
[/mm]
Daher kommen vllt. auch die falschen Extremstellen ...
Rechne nochmal nach ...
> weil der wendepunkt in der ausgangsfunktion im ersten
> ableitung zur extremstellen werden und ich dachte ich kann
> i-wie daraus den wendeepunkt ausrechnen ... aber ich glaube
> ich liege genau da nebem :/
Nun, rechne - wie gesagt - die 1.Ableitung nochmal nach, da ist der letzte Summand daneben gegangen.
Für die Bestimmung des/der Wendepunkte/s benötigst du dann die 2.Ableitung samt Nullstelle/n ...
>
> hmm... ich weiß nicht wie ich den wendepunkt rechnen soll
> ich hoffe einer kann mir dabai helfen...
>
>
> danke mich im voraus
ok, rechne nochmal in Ruhe nach und poste dann in vernünftiger Weise deine Ergebnisse, dann kommen wir weiter 
Gruß
schachuzipus
>
> schöne grüße
> Su92
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | | die Aufgabe ist im Anhang |
Hallo,
habe die Aufgaben jetzt Schriftlich gerechnet
(1) Ableitungen
fa(x) = x³ - x² - x/ 1
fa´(x) = 3x² - 2x - 1
fa´´(x) = 6x - 2
(2) Berechnung der Nullstellen
fa(x) = x³ - x² - x
Bedingung fa(x) = 0
0 = X³ - x² - x
0 = x ( x² -1x -x ) / : x
0 = x ² - 1x - x
-(1/2) [mm] \pm \wurzel{((-1/2)² + 1)}
[/mm]
x1 = 1.61
x2 = -0.61
(3) Berechnung der Extrempunkte
fa´(x) = 3x² - 2x - 1
Bedingung : fa(x) = 0
0 = 3x² - 2x -1 / :3
0 = x² - 0.6x - 0.33
x = - ( - 0.6 / 2) [mm] \pm \wurzel{((-0.6 / 2)² + 0.33)}
[/mm]
x1 = 0.95 x2 = 0.35
y1 = [mm] \approx [/mm] -1 y2 = -0.43
fa´´(x) = 6x -2
fa´´(0.95) = 6 (0.95) - 2
fa´´(0.95) = -8
fa´´(0.35) = 6 (0.35) -2
fa´´(0.35) = - 4.58
Das kann aber nicht sein! Weil der erste Exponten
im Ausgangsgleichung hoch Drei - (^3)- leutet, d.H. die eine Öffnung des Graphs muss nach oben und die andere Öffnung nach unten zeigen.
kann aber mein Fehler nicht entdecken.
Nun weiß ich nicht wie ich den Wendepunkt des Graphes ausrechneen muss.
Bei Aufgabe b muss ich glaub eine beliebige Zahl ( Ga : a [mm] \not= [/mm] 0 ) aussuchen.
freundliche Grüße
Su92
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
> die Aufgabe ist im Anhang
> Hallo,
> habe die Aufgaben jetzt Schriftlich gerechnet
>
> (1) Ableitungen
> fa(x) = x³ - x² - x/ 1
[mm] $f_1(x)$
[/mm]
> fa´(x) = 3x² - 2x - 1
[mm] $f_1'(x)$
[/mm]
> fa´´(x) = 6x - 2
[mm] $f_1''(x)$
[/mm]
etc. Hier ist alles immer für a=1, also ist es [mm] $f_1(x)$, [/mm] nicht [mm] $f_a(x)$. [/mm] Sollte man deswegen drauf aufpassen, weil das ganze später ja auch noch für [mm] $f_a(x)$ [/mm] gefragt ist.
> (2) Berechnung der Nullstellen
> fa(x) = x³ - x² - x
> Bedingung fa(x) = 0
> 0 = X³ - x² - x
> 0 = x ( x² -1x -x ) / : x
Das ist [mm] $0=x(x^2-x-1)$, [/mm] Du hast hinten vergessen das x auch auszuklammern.
Das Teilen geht nur für [mm] $x\neq [/mm] 0$. Was ist für x=0?
> 0 = x ² - 1x - x
>
> -(1/2) [mm]\pm \wurzel{((-1/2)² + 1)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das - am Anfang gehört weg.
> x1 = 1.61
> x2 = -0.61
$\frac12 +\sqrt{\frac{5}{4}\neq 1.61$.
Erstens sind das nur Näherungswerte ($x_1\approx 1.62$), die Du eh nicht verwenden solltest, wenn Du ein richtiges Ergebnis hast. Zweitens hast Du falsch gerundet.
> (3) Berechnung der Extrempunkte
> fa´(x) = 3x² - 2x - 1
> Bedingung : fa(x) = 0
>
> 0 = 3x² - 2x -1 / :3
> 0 = x² - 0.6x - 0.33
$\frac{2}{3}$ ist *nicht* 0.6. Du bist hier schon um mehr als 10% daneben, bevor die Rechnung richtig begonnen hat.
Ebenso ist $\frac{1}{3}\neq 0.33$.
>
> x = - ( - 0.6 / 2) [mm]\pm \wurzel{((-0.6 / 2)² + 0.33)}[/mm]
Dementsprechend kriegst Du auch krumme Werte:
> x1 = 0.95 x2 = 0.35
[mm] $x_1=1$ [/mm] glatt.
[mm] $x_2=-\frac{1}{3}$, [/mm] da hast Du wieder ein - vergessen, diesmal glaub ich auch in der Rechnung, nicht nur im Text hier.
> y1 = [mm]\approx[/mm] -1 y2 = -0.43
Dementsprechend ist auch
[mm] $y_1=-1$ [/mm] glatt und
[mm] $y_2=\frac{5}{27}\approx [/mm] 0.185 $
eins von beiden muß ja auch positiv sein, weil dazwischen eine Nullstelle liegt.
> kann aber mein Fehler nicht entdecken.
Der zweite Extrempunkt und die fehlende Nullstelle.
Mit dem oben paßt's dann. Der Graph kommt von [mm] $-\infty$, [/mm] hat seine erste Nullstelle, dann ein Maximum bei [mm] $-\frac{1}{3}$, [/mm] die zweite Nullstelle, ein Minimum bei 1 und geht dann über seine dritte Nullstelle Richtung [mm] $\infty$.
[/mm]
> Nun weiß ich nicht wie ich den Wendepunkt des Graphes
> ausrechneen muss.
[mm] $f_1''(x)=0$
[/mm]
Na, was ist 2 durch 6? Sag jetzt bloß nicht 0.3 =)
> Bei Aufgabe b muss ich glaub eine beliebige Zahl ( Ga : a
> [mm]\not=[/mm] 0 ) aussuchen.
Nein, Du sollst das a stehen lassen.
[mm] $f_a [/mm] (x) = [mm] ax^3- x^2 [/mm] - [mm] \frac{x}{a} [/mm] =0$
0 ist immer eine Nullstelle, für die beiden anderen kriegst Du Ergebnisse von der Sorte
[mm] $x_1 [/mm] = $ "irgendein Term, in dem ein paar mal a vorkommt"
Ist auch nicht anders zu berechnen als in Deiner (richtigen) Rechnung in a).
Ich freu mich schon auf Deine Lösung, weil das "a" anstatt einer Zahl Dich davon abhalten wird, wie ein Bescheuerter zu runden. =)
Ehrlich, Deine Rechnung ist zu weiten Teilen gut. Viele haben allein schon mit der Mitternachtsformel Probleme. Wenn Du nur nicht so unglaublich schlampen würdest, wärst Du schon vor Stunden fertig gewesen. ^^
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:02 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | | ich habe das Aufgabenblatt angehängt damit ihr wisst was genau gesucht wird, weil ich bin mir selber nicht sicher ob ich die Frage richtig vertanden habe. |
Hallo
ich habe das Aufgabenblatt angehängt damit ihr wisst was genau gesucht wird, weil ich bin mir selber nicht sicher, ob ich die Frage richtig vertanden habe.
Ich versuche jetzt die Aufgabe von vorne schriftlich zu rechnen.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
grüße
su92
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
es existiert kein Anhang. Überprüf das mal.
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
die auufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hi,
puh, das Bild ist saugroß. Und irgendwie nicht sehr leserlich
Aber schachuzipus hat Dir doch ausführliche Tipps gegeben, wie das zu lösen ist.
Lass den Taschenrechner einfach weg und rechne das erneut nach, wenn du dann Fragen/Schwierigkeiten hast, melde dich bitte mit Rechenweg.
Und wenn alle Stricke reißen, musst du eben die komplette Aufgabe abtippen.
Gruß
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 18.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | Aufgabe c )
im Anhang |
Hallo,
Nun hab ich die Aufgabe c) (siehe Anhang) gerechnet
ich soll die Orskurven der Extrempunkte berechnen -
(1) Ortskurve
G1: a = 1
(1a)
[mm] f_{a}_{1}= [/mm] x³- x² - x/1
[mm] f´_{a}_{1}= [/mm] 3x² - 2x - 1
[mm] f´´_{a}_{1}= [/mm] 6x - 2
(2a) Extrempunkte bestimmen
[mm] E_{1} [/mm] (1 / -1)
[mm] E_{2} [/mm] (-0.32/ 0.185)
(3) Ortskurve bestimmen
mit [mm] E_{1} [/mm] (1 / -1)
a = 1
in die y - koordinate einsetzen:
für x = 1; a=1
y = ax³ - x² - x/a
y = 1 (1)³ - (1)² -(1/1)
y = 0
ist das richtig?
ich habe in der Schule zu einer anderen Aufgabe die Ortskurve der Extremstellen ausgerechnet (siehe Anhang)..hab versucht die vorliegende Aufgabe (s.o.) nach dem Faden zu gehen, den ich in der Schule gerechnet hab.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße
su92
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hallo,
>
> Nun hab ich die Aufgabe c) (siehe Anhang) gerechnet
>
> ich soll die Orskurven der Extrempunkte berechnen -
>
> (1) Ortskurve
>
> G1: a = 1
>
> (1a)
> [mm]f_{a}_{1}=[/mm] x³- x² - x/1
> [mm]f´_{a}_{1}=[/mm] 3x² - 2x - 1
> [mm]f´´_{a}_{1}=[/mm] 6x - 2
>
> (2a) Extrempunkte bestimmen
>
>
> [mm]E_{1}[/mm] (1 / -1)
> [mm]E_{2}[/mm] (-0.32/ 0.185)
>
> (3) Ortskurve bestimmen
>
> mit [mm]E_{1}[/mm] (1 / -1)
>
> a = 1
> in die y - koordinate einsetzen:
> für x = 1; a=1
>
> y = ax³ - x² - x/a
>
> y = 1 (1)³ - (1)² -(1/1)
> y = 0
1 - 1 - 1 = 0
Eine neue Erkenntnis
Es muss natürlich y = -1 lauten, allerdings hast du damit jetzt nur ein zweites Mal den y-Wert der Extremstelle bei x = 1 berechnet...
Ich kann dich erstmal dahingehend beruhigen, dass du alles richtig gerechnet hast.
Habt ihr in der Schule nicht gelernt, wie man die Ortskurve richtig aufstellt? Es sieht so aus, als hättet ihr nur für verschiedene a's die Extrempunkte berechnet und dann eine Kurve durch diese gezeichnet...
Dann müsstest du das genau so machen, also für verschiedene a's, nicht nur für a = 1 die beiden auftretenden Extrempunkte berechnen, dann in einen Graphen einzeichnen, und zu einer Kurve verbinden.
----
So berechnet man normalerweise Ortskurven:
Deine allgemeine Ableitung
[mm] $f_{a}'(x) [/mm] = [mm] 3*a*x^{2} [/mm] - 2*x - [mm] \frac{1}{a}$
[/mm]
Die Extremstellen also bei:
[mm] $f_{a}'(x) [/mm] = [mm] 3*a*x^{2} [/mm] - 2*x - [mm] \frac{1}{a} [/mm] = 0$
[mm] $\gdw x^{2}-\frac{2}{3a}*x [/mm] - [mm] \frac{1}{3*a^{2}} [/mm] = 0$
[mm] $x_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1}{3*a}\pm\sqrt{\frac{1}{9*a^{2}}+\frac{1}{3*a^{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{3*a}\pm\frac{2}{3*a}$
[/mm]
d.h.
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] \frac{1}{a}$, $x_{2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{3a}$
[/mm]
Es gibt also zwei verschiedene Ortskurven, eine für Minima und eine für Maxima.
Du musst nun die Gleichung
$x = [mm] \frac{1}{a}$
[/mm]
nach a umstellen:
$a = [mm] \frac{1}{x}$
[/mm]
und nun setzt du diesen Wert für a in deine Ausgangs-Funktionsschar ein:
[mm] $f_{a}(x) [/mm] = [mm] a*x^{3}-x^{2}-\frac{1}{a}*x$
[/mm]
[mm] $f_{\frac{1}{x}}(x) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{x}\right)*x^{3}-x^{2}-\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)}*x [/mm] = [mm] x^{2}-x^{2}-x^{2} [/mm] = [mm] -x^{2}$
[/mm]
D.h. eine Ortskurve ist [mm] $o_{1}(x) [/mm] = [mm] -x^{2}$. [/mm] Die andere erhältst du durch Umstellen und einsetzen der anderen Gleichung:
$x = [mm] -\frac{1}{3a} \gdw [/mm] a = [mm] -\frac{1}{3*x}$
[/mm]
Einsetzen:
[mm] $f_{a}(x) [/mm] = [mm] a*x^{3}-x^{2}-\frac{1}{a}*x$
[/mm]
[mm] $f_{-\frac{1}{3*x}}(x) [/mm] = [mm] \left(-\frac{1}{3*x}\right)*x^{3}-x^{2}-\frac{1}{\left(-\frac{1}{3*x}\right)}*x [/mm] = [mm] -\frac{1}{3}*x^{2}-x^{2}+3*x^{2} [/mm] = [mm] \frac{5}{3}*x^{2} [/mm] = [mm] o_{2}(x)$
[/mm]
Das kann man sich nun auch im Graphen ansehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(rote Kurve [mm] o_{2}(x), [/mm] blaue Kurve [mm] o_{1}(x) [/mm] ).
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
entweder hat Dich das perfekte Deutsch der Anleitung für das Einbetten von Bildern aus der Bahn geworfen und Du hast
(Mit [img] und [url=1] wird die Position des Dateianhangs im Text festgelegt; zum Hochladen der Datei selbst wirst Du nach dem Absenden des Artikels automatisch aufgefordert)
nicht verstanden, oder es gibt ein Problem mit Deinem Rechner - tendentiell dann mit der firewall.
Zu dem Teil der Aufgabe, den Du oben gepostet hast, hat Dir schachuzipus ja schon eine Antwort gegeben.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
hallo stefan
also ich habe das perfekte Deutsch in der Anleitung verstanden und habe auch die Datei hochgeladen. :-D
> entweder hat Dich das perfekte Deutsch der Anleitung für
> das Einbetten von Bildern aus der Bahn geworfen und Du
> hast
>
> (Mit [img]und [url=1] wird die Position des Dateianhangs im Text festgelegt; zum Hochladen der Datei selbst wirst Du nach dem Absenden des Artikels automatisch aufgefordert)
>
> nicht verstanden, oder es gibt ein Problem mit Deinem Rechner - tendentiell dann mit der firewall.
Nur das Problem ist, dass in der Aufgabe einmal Ga und einmal G1 steht (siehe aufgabe a bis c ) .
Soll ich jetzt in Aufgabe a ) für a [mm] \not= [/mm] 0 - d.H. eine beliebige Zahl - einsetzten und in der folgenden Aufgabe b für a =1 einsetzen
grüße
Su92
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 17.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
wieso stellst du Fragen nicht als Fragen? Mitteilungen werden nicht immer gelesen.
$\ [mm] G_1 [/mm] = [mm] G_a [/mm] $ mit $\ a = 1 $
In Aufgabe c sollst du die Extrema von $\ [mm] G_a [/mm] $ (d.h. in Abhängigkeit von $\ a$) ermitteln und den Graphen für 2 explizite Werte zeichnen.
Jetzt klarer, oder noch etwas unklar?
Wenn noch etwas ist, stelle die Frage bitte als Frage.
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Nein,
a) ist für a=1
b) ist für [mm] $a\neq [/mm] 0$ beliebig.
c) sollst Du die Extrempunkte für a beliebig bestimmen, das ergibt auch die Ortskurve der Extrempunkte. Dann mußt Du [mm] $f_a(x)$ [/mm] für a=1 und a=4 und die Ortskurve der Extrempunkte (die wiederum ja für alle a ist) zeichnen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Sa 17.10.2009 | | Autor: | su92 |
Hallo,
rechne gerade die Aufgabe b:
ich weiß nicht ob ich die Ableitung richtig gerechnet habe:
für a = 2
fa(x) = 2x³ - x² - x/2
fa(x) = 2x³ - x² - x^-2
fa´(x) = 6x² - 2x - 2x^-3
fa´´(x) = 12x - 2 - 6x^-4
da Minus mal Minus gleich Plus ergibt muss mann doch bei den Ableitungen die Exponenten miteinander Multiplizieren und dabei auf die Vorzeichen achten oder ?? d.H. die Ableitungen müssten wie folgt aussehen:
fa´(x) = 6x² - 2x + 2x^-3
fa´´(x) = 12x - 2 + 6x^-4
bedanke mich sehr viel für eure Hilfe
liebe grüße
su92
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ich weiß nicht ob ich die Ableitung richtig gerechnet
> habe:
> für a = 2
> fa(x) = 2x³ - x² - x/2
> fa(x) = 2x³ - x² - x^-2
Hier hast du einen Denkfehler:
[mm] $\frac{x}{2}\not= x^{-2}$, [/mm]
denn [mm] $x^{-2} [/mm] = [mm] \frac{1}{x^{2}}$ [/mm] !
Zum leichteren Rechnen kannst du höchstens schreiben (und es ist empfehlenswert, es zu tun):
[mm] $\frac{x}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}*x$
[/mm]
> da Minus mal Minus gleich Plus ergibt muss mann doch bei
> den Ableitungen die Exponenten miteinander Multiplizieren
> und dabei auf die Vorzeichen achten oder ??
Leider verstehe ich nicht, was du meinst. Ich werde aber deine folgenden Ableitungen korrigieren, wenn tatsächlich
[mm] $f_{2}(x) [/mm] = [mm] 2x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - [mm] x^{-2}$
[/mm]
deine Funktion gewesen wäre:
> fa´(x) = 6x² - 2x + 2x^-3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> fa´´(x) = 12x - 2 + 6x^-4
Achtung: Hier muss dann aber auch wieder das Minus vor den letzten Summanden, demm es gilt:
[mm] $\left[2x^{-3} \right]' [/mm] = [mm] 2*(-3)*x^{-4} [/mm] = [mm] -6*x^{-4}$
[/mm]
Richtig wäre also:
[mm] $f_{2}''(x) [/mm] = 12x - 2 [mm] \red{-} 6x^{-4}$
[/mm]
Aber wie gesagt, zu diesen Ableitungen kommt es gar nicht, weil du ja oben falsch umgeformt hast. 
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 So 18.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | | Aufgabe b) -> siehe Anhang |
hi,
hast recht bin sehr langsam, muss zu Hause sehr vieles erledigen."Besuch !!!"
eemmm... ich habe eine Idee, bei der Rechnung von Aufgabe b:
also bei Aufgabe b hab ich eine Funktion die abhängig von a ist
und bei Aufgabe a hab ich einige Eigenschaften ausgerechnet :
N (1.62/ -0.61)
E1 (1 / -1) E2 (-1/3 / 0.185)
W ( 0.32 / -0.39)
daraus kann ich eine neue Funktion aufstellen:
doch erst mal muss ich alle Ableitungen ausrechnen, doch schon bei der ersten Ableitung hackt es bei mir :
(1) Ableitungen
fa(x) = ax³ - x² - x/a
fa´(x) = 3ax² - 2x - ...
Ich weiß nich wie ich "x/a" ableiten soll .
(2) Rechnung
N(1.62/ -0.61)
fa(1.62) = 0; a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = 0
Funktionswert bei der Nullstelle (1.62/-0.61)
fa(1.62/-0.61)= -0.61; a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = -0.61
(Ich glaube Funktionswert bei der Nullstelle ist Überflüssig)
E1(1 / -1);
fa´(1) = 0
fa´(1) = 3a1² - (b)2*1 - (c)...= 0
Funktionswert beim E1 (1/-1)
fa(1) = -1
fa(1) = a1³ - (b) 1² - (1/a) = -1
E2 (-1/3 / 0.185)
fa´(x) = 3a (-1/3) ² -(b) 2*(-1/3) - (c)... = 0
Funktionswert beim E2 (-1/3 / 0.185)
fa(-1/3) = a(-1/3)³ - (b) (-1/3)² - (c) ((-1/3)/a) = 0.185
>>wobei ich hinten das a zum Zähler schieben kann
-> fa(-1/3) = a(-1/3)³ - (b) (-1/3)² - (c) (-1a/3) = 0.185
(3) dann wird ein Gleichungssystem aufgestellt.
hmm.. ich denke das mein Ansatz richtig sein könnte :D
Lg
su92
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 So 18.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> doch erst mal muss ich alle Ableitungen ausrechnen, doch
> schon bei der ersten Ableitung hackt es bei mir :
> (1) Ableitungen
> fa(x) = ax³ - x² - x/a
> fa´(x) = 3ax² - 2x - ...
>
> Ich weiß nich wie ich "x/a" ableiten soll .
Wir leiten nach x ab. a hängt nicht von x ab, also ist es nur eine Konstante:
[mm] $\frac{d}{dx} \frac{x}{a}= \frac{d}{dx} \underbrace{\frac1{a}}_{\text{Konstante}}*x [/mm] = [mm] \frac1{a}$ [/mm]
a ist ein Parameter. Der Parameter ist beliebig aber wird vorher festgelegt.
x ist die Variable.
Ableitung von Konstante mal x ist die Konstante.
Man rechnet alles mit a anstatt eingesetzten Zahlenwerten, damit man nicht für jedes a die ganze Rechnung nochmal aufziehen darf.
> (2) Rechnung
> N(1.62/ -0.61)
> fa(1.62) = 0; a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = 0
Du willst die Nullstellen von [mm] $f_a(x)$. [/mm] Nullstellen sind die x-Werte, für die die Funktion 0 wird.
[mm] $f_a(1.62)=0$ [/mm] impliziert, daß Du stattdessen die Werte für *a* ausrechnest, für die [mm] $f_a(x)$ [/mm] bei 1.62 eine Nullstelle hat.
$a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = 0$
und hier hast Du Dir einfach nur einen Schwung neue Parameter einfallen lassen, die Dir nicht weiterhelfen werden.
sagen wir mal Du findest Werte für b und c. Was machst Du dann mit denen?
Wenn Du Dir schon Funktionen einfallen läßt, die mit der Aufgabe nix zu tun haben, warum machst Du Dir das Leben nicht einfacher? =)
Also nochmal von vorne:
[mm] $f_a(x)=ax^3 [/mm] - [mm] x^2 -\frac{1}{a} [/mm] x$
[mm] $ax^3 [/mm] - [mm] x^2 -\frac{1}{a} [/mm] x = [mm] x(ax^2-x-\frac1{a}) [/mm] =0$
damit ist 0 wieder eine Nullstelle, und die anderen sind die Lösung von
[mm] $ax^2-x-\frac1{a}=0$ [/mm]
Wir wollen's in der Form (btw. macht man die [mm] $x_1/2 [/mm] = [mm] \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ [/mm] Formel überhaupt nicht mehr? Führt imho oft zu wesentlich weniger häßlichen Brüchen)
[mm] $x^2 [/mm] + p x + q = 0$
also durch a geteilt (ist ungleich 0):
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] \underbrace{(-\frac1{a})}_{=p} [/mm] x + [mm] \underbrace{(-\frac1{a^2})}_{=q} [/mm] =0$
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 So 18.10.2009 | | Autor: | su92 |
Morgen,
> Wir leiten nach x ab. a hängt nicht von x ab, also ist es
> nur eine Konstante:
>
> [mm]\frac{d}{dx} \frac{x}{a}= \frac{d}{dx} \underbrace{\frac1{a}}_{\text{Konstante}}*x = \frac1{a}[/mm]
>
Ich versteh nich ganz warum da "1/a" rauskommt, denn da muss doch nur "a" rauskommen, weil die anderen Werte mit einander gekürzt werden.
> > (2) Rechnung
> > N(1.62/ -0.61)
> > fa(1.62) = 0; a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = 0
>
> Du willst die Nullstellen von [mm]f_a(x)[/mm]. Nullstellen sind die
> x-Werte, für die die Funktion 0 wird.
>
> [mm]f_a(1.62)=0[/mm] impliziert, daß Du stattdessen die Werte für
> *a* ausrechnest, für die [mm]f_a(x)[/mm] bei 1.62 eine Nullstelle
> hat.
>
> [mm]a1.62³ - (b)1.62²- (c) 1.62/a = 0[/mm]
>
> und hier hast Du Dir einfach nur einen Schwung neue
> Parameter einfallen lassen, die Dir nicht weiterhelfen
> werden.
>
> sagen wir mal Du findest Werte für b und c. Was machst Du
> dann mit denen?
> Wenn Du Dir schon Funktionen einfallen läßt, die mit der
> Aufgabe nix zu tun haben, warum machst Du Dir das Leben
> nicht einfacher? =)
>
> Also nochmal von vorne:
>
> [mm]f_a(x)=ax^3 - x^2 -\frac{1}{a} x[/mm]
>
> [mm]ax^3 - x^2 -\frac{1}{a} x = x(ax^2-x-\frac1{a}) =0[/mm]
>
> damit ist 0 wieder eine Nullstelle, und die anderen sind
> die Lösung von
>
> [mm]ax^2-x-\frac1{a}=0[/mm]
>
> Wir wollen's in der Form (btw. macht man die [mm]x_1/2 = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
> Formel überhaupt nicht mehr? Führt imho oft zu wesentlich
> weniger häßlichen Brüchen)
> [mm]x^2 + p x + q = 0[/mm]
>
> also durch a geteilt (ist ungleich 0):
> [mm]x^2 + \underbrace{(-\frac1{a})}_{=p} x + \underbrace{(-\frac1{a^2})}_{=q} =0[/mm]
Warum teilst du hier durch "a" kann das leider nicht nachvollziehen.
grüße
Su92
|
|
|
| |
|
> > Wir leiten nach x ab. a hängt nicht von x ab, also ist es
> > nur eine Konstante:
> >
> > [mm]\frac{d}{dx} \frac{x}{a}= \frac{d}{dx} \underbrace{\frac1{a}}_{\text{Konstante}}*x = \frac1{a}[/mm]
> >
> Ich versteh nich ganz warum da "1/a" rauskommt, denn da
> muss doch nur "a" rauskommen, weil die anderen Werte mit
> einander gekürzt werden.
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du kürzen willst.
Möglicherweise ist Dir blechs Schreibweise nicht geläufig.
Nochmal also:
Du hast die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x}{a}=\bruch{1}{a}*x, [/mm] welche abgeleitet werden soll.
Deine Variable ist x. Das a ist ein Parameter und so zu behandeln, als stünde dort irgendeine Zahl, z.B. 7.
Leiten wir übungeshalber erstmal [mm] g(x)=\bruch{x}{7}=\bruch{1}{7}*x [/mm] ab:
[mm] \bruch{1}{7} [/mm] ist eine Konstante, die Ableitung von x ist 1, also bekommen wir [mm] g'(x)=\bruch{1}{7}*1=\bruch{1}{7}.
[/mm]
Für f(x)=bruch{1}{a}*x geht das haargenauso.
Du bekommst [mm] f'(x)=\bruch{1}{a}*1=\bruch{1}{a}.
[/mm]
> > damit ist 0 wieder eine Nullstelle, und die anderen sind
> > die Lösung von
> >
> > [mm]ax^2-x-\frac1{a}=0[/mm]
> >
> > Wir wollen's in der Form (btw. macht man die [mm]x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/mm]
> > Formel überhaupt nicht mehr? Führt imho oft zu wesentlich
> > weniger häßlichen Brüchen)
> > [mm]x^2 + p x + q = 0[/mm]
> >
> > also durch a geteilt (ist ungleich 0):
> > [mm]x^2 + \underbrace{(-\frac1{a})}_{=p} x + \underbrace{(-\frac1{a^2})}_{=q} =0[/mm]
>
> Warum teilst du hier durch "a" kann das leider nicht
> nachvollziehen.
blech möchte auf [mm]ax^2-x-\frac1{a}=0[/mm] die pq-Formel anwenden. Das geht nur, wenn vor dem [mm] x^2 [/mm] kein Faktor steht.
Um dies zu erreichen, teilt er durch a.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 18.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | | Aufgabe b (siehe Anhang) |
Hallo angela,
jetzt versteh ich das besser :) danke an euch beiden.
Bei Aufgabe B (siehe Anhang)
hab ich jetzt nur die Ableitungen ausgerechnet:
fa(x) = ax³ - x² - x/a
fa´(x) = 3ax² - 2x -1/a
fa´´(x) = 6ax -2
Für a setzt mann eine beliebige Zahl ein (a [mm] \not= [/mm] 0 ), und alle Graphen der Schar fa haben genau drei Schnittpunkte mit der x-Achse.
Bin ich nun mit der Aufgabe fertig??
Obwohl ich denke, dass es kein genügender beweis ist, dass alle Graphen der Schar fa drei Schnittpunkte an der x-Achse haben. Desweiteren soll ich sie ya schließlich die Nullstellen bestimmen.
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo!
> hab ich jetzt nur die Ableitungen ausgerechnet:
> fa(x) = ax³ - x² - x/a
> fa´(x) = 3ax² - 2x -1/a
> fa´´(x) = 6ax -2
>
> Für a setzt mann eine beliebige Zahl ein (a [mm]\not=[/mm] 0 ), und
> alle Graphen der Schar fa haben genau drei Schnittpunkte
> mit der x-Achse.
Du musst keine Ableitungen ausrechnen. Die Aufgabe lautet, zu zeigen dass jede Funktion [mm] f_{a} [/mm] der Funktionenschar drei Nullstellen hat (dreimal die x-Achse schneidet bzw. berührt).
Um das zu zeigen, solltest du diese drei Nullstellen ausrechnen und dann zeigen, dass du sie für alle a ausrechnen kannst. (Wäre beispielsweise eine Nullstelle [mm] x_{N} [/mm] = [mm] \frac{1}{a}, [/mm] könntest du sie für a = 0 nicht ausrechnen, weil man nicht durch 0 teilen darf, dann hätte die Funktion nur zwei Nullstellen - so etwas darf bei dir also nicht passieren).
Also musst du die Gleichung
[mm] $f_{a}(x) [/mm] = [mm] a*x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{a}*x [/mm] = 0$
nach x auflösen. Ein erster Schritt ist:
[mm] $\gdw x*\left(a*x^{2} - x - \frac{1}{a}\right) [/mm] = 0$
Damit weißt du schonmal, dass [mm] x_{1} [/mm] = 0 eine Nullstelle ist. Sie hängt nicht von a ab, also ist sie garantiert immer eine Nullstelle von [mm] f_{a}.
[/mm]
Warum ist [mm] x_{1} [/mm] = 0 eine Nullstelle: Oben liegt ein Produkt vor. Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Also entweder ist x = 0 oder
[mm] $a*x^{2} [/mm] - x - [mm] \frac{1}{a} [/mm] = 0$
Dadurch erhältst du die beiden restlichen Nullstellen. Wenn du sie ausgerechnet hast, musst du noch kurz schreiben / zeigen, dass es kein a gibt, wo man sie nicht berechnen kann, dann bist du fertig.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 18.10.2009 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | | aufage b (siehe anhang) |
Hallo,
> Um das zu zeigen, solltest du diese drei Nullstellen
> ausrechnen und dann zeigen, dass du sie für alle a
> ausrechnen kannst. (Wäre beispielsweise eine Nullstelle
> [mm]x_{N}[/mm] = [mm]\frac{1}{a},[/mm] könntest du sie für a = 0 nicht
> ausrechnen, weil man nicht durch 0 teilen darf, dann hätte
> die Funktion nur zwei Nullstellen - so etwas darf bei dir
> also nicht passieren).
>
> Also musst du die Gleichung
>
> [mm]f_{a}(x) = a*x^{3} - x^{2} - \frac{1}{a}*x = 0[/mm]
>
> nach x auflösen. Ein erster Schritt ist:
>
> [mm]\gdw x*\left(a*x^{2} - x - \frac{1}{a}\right) = 0[/mm]
>
> Damit weißt du schonmal, dass [mm]x_{1}[/mm] = 0 eine Nullstelle
> ist. Sie hängt nicht von a ab, also ist sie garantiert
> immer eine Nullstelle von [mm]f_{a}.[/mm]
> Warum ist [mm]x_{1}[/mm] = 0 eine Nullstelle: Oben liegt ein
> Produkt vor. Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0
> wird. Also entweder ist x = 0 oder
>
> [mm]a*x^{2} - x - \frac{1}{a} = 0[/mm]
>
> Dadurch erhältst du die beiden restlichen Nullstellen.
> Wenn du sie ausgerechnet hast, musst du noch kurz schreiben
> / zeigen, dass es kein a gibt, wo man sie nicht berechnen
> kann, dann bist du fertig.
>
aber wie soll ich nach x auflösen wenn ich für a kein wert einsetze.
Grüße
su92
|
|
|
| |
|
Hallo!
> > [mm]a*x^{2} - x - \frac{1}{a} = 0[/mm]
> >
> > Dadurch erhältst du die beiden restlichen Nullstellen.
> > Wenn du sie ausgerechnet hast, musst du noch kurz schreiben
> > / zeigen, dass es kein a gibt, wo man sie nicht berechnen
> > kann, dann bist du fertig.
> >
> aber wie soll ich nach x auflösen wenn ich für a kein
> wert einsetze.
So, wie es auch schon meine Vorredner getan haben: Mit der p-q-Formel. Nur weil du den konkreten Wert von a nicht kennst, sind nicht plötzlich sämtliche mathematischen Möglichkeiten versperrt. Du kannst doch trotzdem p und q bestimmen und in die Formel einsetzen:
[mm]a*x^{2} - x - \frac{1}{a} = 0[/mm]
[mm] $\gdw x^{2} [/mm] - [mm] \frac{1}{a}*x [/mm] - [mm] \frac{1}{a^{2}} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow x_{1/2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*a}\pm\sqrt{\frac{1}{4*a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*a}\pm\sqrt{\frac{5}{4*a^{2}}} [/mm] = [mm] \frac{1\pm\sqrt{5}}{2*a}$
[/mm]
Das sind deine restlichen beiden Nullstellen. Nur für a = 0 existieren sie nicht. Da aber per Voraussetzung [mm] $a\not= [/mm] 0$ ist, existieren sie für jedes zugelassene a.
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
![[a]](uploads/forum/00600606/forum-i00600606-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
Datei-Anhang