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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen zu
[mm] x_{1}'=5x_{1}+x_{2}+2x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}'=3x_{1}+3x_{2}+2x_{3} [/mm] (1)
[mm] x_{3}'=-6x_{1}-2x_{2}-2x_{3}
[/mm]
Hinweis:
Ein Element des FS wird in der Form [mm] \vec{x}(t)=(\vec{a}+\vec{b}t)e^{\lambda t} [/mm] gesucht [mm] (\vec{a}, \vec{b} [/mm] sind konstante Vektoren, vgl Satz 25 aus der VL).
Zeigen Sie, dass ein Koeffizientenvergleich zu folgenden Bedingungen führt:
[mm] A\vec{b}=\lambda \vec{b} [/mm] (2)
[mm] (A-\lambda I)\vec{a}=\vec{b} [/mm] (3)
wobei A die Matrix des Systems (1) ist. Nach (2) ist [mm] \vec{b} [/mm] ein Eigenvektor von A. Gleichung (3) ist jedoch nicht für jede Wahl von [mm] \vec{b} [/mm] lösbar.
Wählen Sie ein geeingnetes [mm] \vec{b} [/mm] und finden Sie eine Lösung [mm] \vec{a} [/mm] von (3). |
Hallo zusammen.
Kurz noch als Zusatz: Satz 25 der VL besat dass es zu einer k-fachen NS [mm] \lambda [/mm] k linear unabhängig Lösungen der Form
[mm] y_{1}(t)=\vec{p_{0}}e^{\lamda t }
[/mm]
[mm] y_{2}(t)=\vec{p_{1}}e^{\lamda t }
[/mm]
.... [mm] y_{k}(t)=\vec{p_{k-1}}e^{\lamda t } [/mm] gibt
wobei [mm] \vec{p_{i}(t)} [/mm] einb polynom vom grad [mm] \le [/mm] i ist.
DIe aufgabe an sich ist ja ganz nett gestellt, ich rechne also das charak. polynom aus, komme auf die dreifache NS [mm] \lambda=2 [/mm] (richtig?!)
und kan direkt den erstem EV [mm] \vec{b} [/mm] ausrechnen
da ich dabei nur eine gleichung mit 3 variablen rauskriege, genauer:
3b1+b2+2b3=0
gibt es verschiedene möglichkeiten, wie [mm] \vec{b} [/mm] aussehen kann.
beachte ich gleichung (3) komme ich auf eine Form für [mm] \vec{b}=q \vektor{1\\1\\-2} [/mm] wobei q [mm] \in \IR.
[/mm]
setze ich das in gleichung (2) ein kommt auch was wahres raus.
habe also das 1. element fürs fundamentalsystem gefunden.
rechne ich jetzt mit (3) weiter komme ich wieder auf eine gleichung mit 3 variablen: 3a1-a2+2a3=1
und das stimmt für [mm] p\vektor{2\\1\\-2} [/mm] aber nur wenn p=q
habe ich damit jetzt das 2. element fürs fundamentalsystem gefunden?
also dass ich habe
[mm] y_1(t)= [/mm] q [mm] \vektor {1\\1\\-2} e^{2t}
[/mm]
[mm] y_2(t)= [/mm] q [mm] \vektor {2\\1\\-2} e^{2t}
[/mm]
?
und kann ich das überhaupt so machen, ich weiß nämlich ehrlich gesagt nicht was ein koeffizientenvergleich ist (wenn mir das jemand erklären könnte, wäre das toll^^) und ob ich die sachen aus der aufgabe so vorausetzen darf und ob das sein kann, dass ich die gleiche variable, also q, benutze, aber anders klappts doch nicht?
naja für das 3 Element ist ja der hinweis gegeben, das ist dann eign auch kein problem, durch einsetzn komme ich auf eine lin unabhängige lösung mit einem polynom grad 1:
[mm] y_{3}(t)=q \vektor {3\\2\\-4}t e^{2t}
[/mm]
allerdings habe ich ja schon wieder q dann....
vllt mach ich mir auch umsonst sorgen, aber das sieht so komisch aus^^
vielen dank für jede hilfe!!
lg cmueller
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Hallo cmueller,
> Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen zu
> [mm]x_{1}'=5x_{1}+x_{2}+2x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}'=3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}[/mm] (1)
> [mm]x_{3}'=-6x_{1}-2x_{2}-2x_{3}[/mm]
>
> Hinweis:
> Ein Element des FS wird in der Form
> [mm]\vec{x}(t)=(\vec{a}+\vec{b}t)e^{\lambda t}[/mm] gesucht
> [mm](\vec{a}, \vec{b}[/mm] sind konstante Vektoren, vgl Satz 25 aus
> der VL).
> Zeigen Sie, dass ein Koeffizientenvergleich zu folgenden
> Bedingungen führt:
>
> [mm]A\vec{b}=\lambda \vec{b}[/mm] (2)
> [mm](A-\lambda I)\vec{a}=\vec{b}[/mm] (3)
> wobei A die Matrix des Systems (1) ist. Nach (2) ist
> [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor von A. Gleichung (3) ist jedoch
> nicht für jede Wahl von [mm]\vec{b}[/mm] lösbar.
> Wählen Sie ein geeingnetes [mm]\vec{b}[/mm] und finden Sie eine
> Lösung [mm]\vec{a}[/mm] von (3).
> Hallo zusammen.
> Kurz noch als Zusatz: Satz 25 der VL besat dass es zu
> einer k-fachen NS [mm]\lambda[/mm] k linear unabhängig Lösungen
> der Form
> [mm]y_{1}(t)=\vec{p_{0}}e^{\lamda t }[/mm]
>
> [mm]y_{2}(t)=\vec{p_{1}}e^{\lamda t }[/mm]
> ....
> [mm]y_{k}(t)=\vec{p_{k-1}}e^{\lamda t }[/mm] gibt
> wobei [mm]\vec{p_{i}(t)}[/mm] einb polynom vom grad [mm]\le[/mm] i ist.
>
> DIe aufgabe an sich ist ja ganz nett gestellt, ich rechne
> also das charak. polynom aus, komme auf die dreifache NS
> [mm]\lambda=2[/mm] (richtig?!)
Ja.
> und kan direkt den erstem EV [mm]\vec{b}[/mm] ausrechnen
> da ich dabei nur eine gleichung mit 3 variablen
> rauskriege, genauer:
>
> 3b1+b2+2b3=0
> gibt es verschiedene möglichkeiten, wie [mm]\vec{b}[/mm] aussehen
> kann.
> beachte ich gleichung (3) komme ich auf eine Form für
> [mm]\vec{b}=q \vektor{1\\1\\-2}[/mm] wobei q [mm]\in \IR.[/mm]
> setze ich das
> in gleichung (2) ein kommt auch was wahres raus.
> habe also das 1. element fürs fundamentalsystem
> gefunden.
Stimmt auch.
>
> rechne ich jetzt mit (3) weiter komme ich wieder auf eine
> gleichung mit 3 variablen: 3a1-a2+2a3=1
Die Gleichung, die betrachtet werden muß, lautet doch:
[mm]3a_{1}\red{+}a_{2}+2a_{3}=1[/mm]
> und das stimmt für [mm]p\vektor{2\\1\\-2}[/mm] aber nur wenn p=q
>
> habe ich damit jetzt das 2. element fürs fundamentalsystem
> gefunden?
> also dass ich habe
> [mm]y_1(t)=[/mm] q [mm]\vektor {1\\1\\-2} e^{2t}[/mm]
> [mm]y_2(t)=[/mm] q [mm]\vektor {2\\1\\-2} e^{2t}[/mm]
>
> ?
Nach dem Hinweis ergibt sich dann für ein Element des FS:
[mm]\left( \ \vec{a} + \left(A-2I\right)*\vec{a}*t \ \right)*e^{2t}[/mm]
> und kann ich das überhaupt so machen, ich weiß nämlich
> ehrlich gesagt nicht was ein koeffizientenvergleich ist
> (wenn mir das jemand erklären könnte, wäre das toll^^)
> und ob ich die sachen aus der aufgabe so vorausetzen darf
> und ob das sein kann, dass ich die gleiche variable, also
> q, benutze, aber anders klappts doch nicht?
>
> naja für das 3 Element ist ja der hinweis gegeben, das ist
> dann eign auch kein problem, durch einsetzn komme ich auf
> eine lin unabhängige lösung mit einem polynom grad 1:
> [mm]y_{3}(t)=q \vektor {3\\2\\-4}t e^{2t}[/mm]
Mir ist schleierhaft, wie Du auf diesen Vektor kommst.
> allerdings habe ich
> ja schon wieder q dann....
>
> vllt mach ich mir auch umsonst sorgen, aber das sieht so
> komisch aus^^
> vielen dank für jede hilfe!!
>
> lg cmueller
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
> Hallo cmueller,
>
> > Finden Sie ein Fundamentalsystem von Lösungen zu
> > [mm]x_{1}'=5x_{1}+x_{2}+2x_{3}[/mm]
> > [mm]x_{2}'=3x_{1}+3x_{2}+2x_{3}[/mm] (1)
> > [mm]x_{3}'=-6x_{1}-2x_{2}-2x_{3}[/mm]
> >
> > Hinweis:
> > Ein Element des FS wird in der Form
> > [mm]\vec{x}(t)=(\vec{a}+\vec{b}t)e^{\lambda t}[/mm] gesucht
> > [mm](\vec{a}, \vec{b}[/mm] sind konstante Vektoren, vgl Satz 25 aus
> > der VL).
> > Zeigen Sie, dass ein Koeffizientenvergleich zu
> folgenden
> > Bedingungen führt:
> >
> > [mm]A\vec{b}=\lambda \vec{b}[/mm] (2)
> > [mm](A-\lambda I)\vec{a}=\vec{b}[/mm] (3)
> > wobei A die Matrix des Systems (1) ist. Nach (2) ist
> > [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor von A. Gleichung (3) ist jedoch
> > nicht für jede Wahl von [mm]\vec{b}[/mm] lösbar.
> > Wählen Sie ein geeingnetes [mm]\vec{b}[/mm] und finden Sie eine
> > Lösung [mm]\vec{a}[/mm] von (3).
> > Hallo zusammen.
> > Kurz noch als Zusatz: Satz 25 der VL besat dass es zu
> > einer k-fachen NS [mm]\lambda[/mm] k linear unabhängig Lösungen
> > der Form
> > [mm]y_{1}(t)=\vec{p_{0}}e^{\lamda t }[/mm]
> >
> > [mm]y_{2}(t)=\vec{p_{1}}e^{\lamda t }[/mm]
> > ....
> > [mm]y_{k}(t)=\vec{p_{k-1}}e^{\lamda t }[/mm] gibt
> > wobei [mm]\vec{p_{i}(t)}[/mm] einb polynom vom grad [mm]\le[/mm] i ist.
> >
> > DIe aufgabe an sich ist ja ganz nett gestellt, ich rechne
> > also das charak. polynom aus, komme auf die dreifache NS
> > [mm]\lambda=2[/mm] (richtig?!)
>
>
> Ja.
>
>
> > und kan direkt den erstem EV [mm]\vec{b}[/mm] ausrechnen
> > da ich dabei nur eine gleichung mit 3 variablen
> > rauskriege, genauer:
> >
> > 3b1+b2+2b3=0
> > gibt es verschiedene möglichkeiten, wie [mm]\vec{b}[/mm]
> aussehen
> > kann.
> > beachte ich gleichung (3) komme ich auf eine Form für
> > [mm]\vec{b}=q \vektor{1\\1\\-2}[/mm] wobei q [mm]\in \IR.[/mm]
> > setze
> ich das
> > in gleichung (2) ein kommt auch was wahres raus.
> > habe also das 1. element fürs fundamentalsystem
> > gefunden.
>
>
> Stimmt auch.
>
>
> >
> > rechne ich jetzt mit (3) weiter komme ich wieder auf eine
> > gleichung mit 3 variablen: 3a1-a2+2a3=1
>
>
> Die Gleichung, die betrachtet werden muß, lautet doch:
>
> [mm]3a_{1}\red{+}a_{2}+2a_{3}=1[/mm]
>
oh son mist du hast natürlich völliog recht^^
dann komme ich auf einen [mm] \vec{a}=p\vektor{1\\0\\-1} [/mm] wieder mit p=q
>
> > und das stimmt für [mm]p\vektor{2\\1\\-2}[/mm] aber nur wenn p=q
> >
> > habe ich damit jetzt das 2. element fürs fundamentalsystem
> > gefunden?
> > also dass ich habe
> > [mm]y_1(t)=[/mm] q [mm]\vektor {1\\1\\-2} e^{2t}[/mm]
> > [mm]y_2(t)=[/mm] q
> [mm]\vektor {2\\1\\-2} e^{2t}[/mm]
> >
> > ?
>
>
> Nach dem Hinweis ergibt sich dann für ein Element des FS:
>
> [mm]\left( \ \vec{a} + \left(A-2I\right)*\vec{a}*t \ \right)*e^{2t}[/mm]
>
>
> > und kann ich das überhaupt so machen, ich weiß nämlich
> > ehrlich gesagt nicht was ein koeffizientenvergleich ist
> > (wenn mir das jemand erklären könnte, wäre das toll^^)
> > und ob ich die sachen aus der aufgabe so vorausetzen darf
> > und ob das sein kann, dass ich die gleiche variable, also
> > q, benutze, aber anders klappts doch nicht?
> >
> > naja für das 3 Element ist ja der hinweis gegeben, das ist
> > dann eign auch kein problem, durch einsetzn komme ich auf
> > eine lin unabhängige lösung mit einem polynom grad 1:
> > [mm]y_{3}(t)=q \vektor {3\\2\\-4}t e^{2t}[/mm]
>
>
> Mir ist schleierhaft, wie Du auf diesen Vektor kommst.
>
>
> > allerdings habe ich
> > ja schon wieder q dann....
> >
> > vllt mach ich mir auch umsonst sorgen, aber das sieht so
> > komisch aus^^
> > vielen dank für jede hilfe!!
> >
> > lg cmueller
>
>
> Gruss
> MathePower
natürlich ist der dritte dann schwachsinn, ich komme jetzt auf:
[mm] y_{3}=q \vektor{1+t\\t\\-1-2t}e^{2t}
[/mm]
stimmt das jez?
und kann ich das so stehen lassen?
lg cmueller
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Hallo cmueller,
> > >
> > > rechne ich jetzt mit (3) weiter komme ich wieder auf eine
> > > gleichung mit 3 variablen: 3a1-a2+2a3=1
> >
> >
> > Die Gleichung, die betrachtet werden muß, lautet doch:
> >
> > [mm]3a_{1}\red{+}a_{2}+2a_{3}=1[/mm]
> >
> oh son mist du hast natürlich völliog recht^^
> dann komme ich auf einen [mm]\vec{a}=p\vektor{1\\0\\-1}[/mm] wieder
> mit p=q
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> natürlich ist der dritte dann schwachsinn, ich komme jetzt
> auf:
>
> [mm]y_{3}=q \vektor{1+t\\t\\-1-2t}e^{2t}[/mm]
>
> stimmt das jez?
Diese Lösung [mm]y_{3}[/mm] stimmt jetzt.
> und kann ich das so stehen lassen?
Nun, jetzt brauchst Du noch einen Eigenvektor, der zu
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
linear unabhängig ist.
>
> lg cmueller
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
moment wieso das?
ich hab doch jetzt [mm] y_{1}= [/mm] q [mm] \vektor{1\\1\\-2} e^{2t}
[/mm]
[mm] y_{2}= [/mm] q [mm] \vektor{1\\0\\-1}e^{2t}
[/mm]
und [mm] y_{3}=q\vektor{1+t\\t\\-1-2t}e^{2t}
[/mm]
und die sind alle drei linear unabhängig und stellen ein fundamentalsystem von dem anfangssystem dar?!
oder is hier das problem dass ich überall die gleiche variable drin hab? oder kann ich die im fundamentalsystem trotzdem zB u,v,w nennen?
danke, dass du mir soviel hilfst, die klausur rückt immer näher ;)
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Hallo cmueller,
> moment wieso das?
> ich hab doch jetzt [mm]y_{1}=[/mm] q [mm]\vektor{1\\1\\-2} e^{2t}[/mm]
>
> [mm]y_{2}=[/mm] q [mm]\vektor{1\\0\\-1}e^{2t}[/mm]
> und [mm]y_{3}=q\vektor{1+t\\t\\-1-2t}e^{2t}[/mm]
> und die sind alle drei linear unabhängig und stellen ein
> fundamentalsystem von dem anfangssystem dar?!
[mm]y_{2}[/mm] ist keine Lösung des DGL-Systems.
Wenn [mm]y_{2}[/mm] eine Lösung des DGL-Systems sein soll,
dann muß z.B. die Gleichung
[mm]x_{1}'=5*x_{1}+x_{2}+2*x_{3}[/mm]
erfüllt sein.
Dies ist hier nicht der Fall.
> oder is hier das problem dass ich überall die gleiche
> variable drin hab? oder kann ich die im fundamentalsystem
> trotzdem zB u,v,w nennen?
Die Konstanten kannst Du nennen, wie Du lustig bist.
>
> danke, dass du mir soviel hilfst, die klausur rückt immer
> näher ;)
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
... wäre ja auch zu schön gewesen...
also wennich meine notizen richtig verstehe muss ich jetzt ´das letzte element der fundamentalsystems finden mit der form:
[mm] y_{3}= (\vec{a}+\vec{b}t+\vec{c}t^{2})e^{2t}
[/mm]
stimmt das ? (oder gehts einfacher?)
a und b hab ich ja schon, aber wie bekomme ich denn nun c raus?
mit [mm] (A-\lambdaI)\vec{a}=\vec{b}
[/mm]
komme ic ja hier nich weiter also mit einer modifizierten version oder?
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Hallo cmueller,
> ... wäre ja auch zu schön gewesen...
>
> also wennich meine notizen richtig verstehe muss ich jetzt
> ´das letzte element der fundamentalsystems finden mit der
> form:
>
> [mm]y_{3}= (\vec{a}+\vec{b}t+\vec{c}t^{2})e^{2t}[/mm]
> stimmt das ?
Nein, da Du aus
[mm]\left(A-2*I\right)*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
schon 2 linear unabhängige Eigenvektoren bekommst.
> (oder gehts einfacher?)
> a und b hab ich ja schon, aber wie bekomme ich denn nun c
> raus?
> mit [mm](A-\lambdaI)\vec{a}=\vec{b}[/mm]
> komme ic ja hier nich weiter also mit einer modifizierten
> version oder?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 24.01.2010 | | Autor: | cmueller |
ja aber wie komme ich denn dann an das dritte linear unabhängige element vom fundamentalsystem ran?
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Hallo cmueller,
> ja aber wie komme ich denn dann an das dritte linear
> unabhängige element vom fundamentalsystem ran?
In dem Du das Gleichungssystem
[mm]\left(A-2*I\right)*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
löst.
Aus diesem Gleichungssystem hast Du auch den Vektor
[mm]\pmat{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
bekommen.
Gruss
MathePower
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