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| Aufgabe | | Warum ist Z/nZ als endliche abelsche Gruppe nicht frei für n>1? |
Also für n=o ist Z/nZ = Z, (jeder Ring ist über sich selbst frei, nach Wiki)
denn: <1> = Z, da man jede Zahl aus Z durch addieren der eins (1+1+...) erreichen kann, richtig?
n=1 ist Z/nZ = {0}, und dies wird von der leeren Menge erzeugt, damit hat es auch eine Basis
n>1, damit ist Z/nZ endlich zb hab ich die elemente {0,1,...,n-1}, ist das keine Basis? Oder liegt das daran, dass Z/nZ endlich ist und somit nicht isomorph zu einem [mm] Z^k [/mm] ist und somit keine Basis hat (weil [mm] Z^k [/mm] eine hat)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 03.08.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Warum ist Z/nZ als endliche abelsche Gruppe nicht frei für
> n>1?
>
> Also für n=o ist Z/nZ = Z, (jeder Ring ist über sich
> selbst frei, nach Wiki)
> denn: <1> = Z, da man jede Zahl aus Z durch addieren der
> eins (1+1+...) erreichen kann, richtig?
>
> n=1 ist Z/nZ = {0}, und dies wird von der leeren Menge
> erzeugt, damit hat es auch eine Basis
>
> n>1, damit ist Z/nZ endlich zb hab ich die elemente
> {0,1,...,n-1}, ist das keine Basis?
Nein, das ist keine, das ist ein Erzeugendensystem, allerdings unnötig groß.
> Oder liegt das daran,
> dass Z/nZ endlich ist und somit nicht isomorph zu einem [mm]Z^k[/mm]
> ist und somit keine Basis hat (weil [mm]Z^k[/mm] eine hat)?
Daraus folgt die Unfreiheit auch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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was heißt auch (bzgl der unfreiheit)?
Wie sähe die alternative aus?
So vielleicht:
Z/nZ endlich ist und [mm] Z^k [/mm] k>0 unendlich ist, und somit nicht surjektiv ist?
(für k=0 wäre es nicht injektiv)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Fr 05.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> was heißt auch (bzgl der unfreiheit)?
> Wie sähe die alternative aus?
>
> So vielleicht:
> Z/nZ endlich ist und [mm]Z^k[/mm] k>0 unendlich ist, und somit
> nicht surjektiv ist?
Was hat das Wort "surjektiv" hier zu suchen?
> (für k=0 wäre es nicht injektiv)
Und was meinst du jetzt mit injektiv? Wovon redest du? Einem moeglichen Isomorphismus? Welche Richtung?
Ich vermute du hast schon die richtige Idee, du musst es nur besser ausdruecken :)
LG Felix
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