fouriertrafo einer kreisblende < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass
$$ [mm] \mathcal{F}\{\mathds{1}_{kreis}\}(\nu_x,\nu_y)=\frac{2\pi R}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}J_1\left ( R\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2} \right [/mm] )$$, wobei [mm] $\mathds{1}(x,y)$ [/mm] die Indikatorfunktion der Kreisscheibe mit Radius R sein soll. |
Hi,
ich probiere also im Wesentlichen von dem fourierintegral auf eine Besseldarstellung zu kommen, die ich irgendwo nachschlagen kann.
Es ist ja eine 2-dim transformation. Mit Polarkoordinaten komme ich nicht weit, habe mich daher dafür entschieden kartesisch zu bleiben.
$$ [mm] \mathcal{F}\{\mathds{1}_{kreis}\} [/mm] = [mm] \int\limits_{-R}^R \int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}} e^{-2\pi i ( x\nu_x+y\nu_y)} [/mm] dy dx [mm] \\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\pi \nu_y} \int\limits_{-R}^{R} e^{-2 \pi i x \nu_x}\sin\left( 2 \pi \sqrt{R^2-x^2} \nu_y\right) [/mm] dx= [mm] \dots [/mm] $$
Soweit komme ich natürlich. Bei den Darstellungen bei Wiki der Besselfunktion stehen immer Winkel in den Integrationsgrenzen - ich könnte mit Hilfe des Residuensatz da problemlos ein Halbkreisintegral draus machen - es gibt keine Pole oder so, aber dann habe ich hässliche sachen in diesem Sinus....
Jemand eine Idee ??
Danke, aza
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Di 08.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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