formel von Bayes richtig ? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Do 04.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | | Beim vorweihnachtlichen Grillen hat Alina "aus Versehen"Dennis verraten, wo die Klausuren zu der Vorlesung, die Dennis besucht, versteckt sind.Sie wusste allerdings nicht, dass zum Schutz der Klausuren eine Alarmanlage installiert wurde, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 99, 5% Alarm schlägt, wenn jmd. sich Nachts an dem Klausurenversteck zu schaffen macht.Allerdings geht diese Alarmanlage auch mit Wahrscheinlichkeit 0.001 einfach so los.Die Wahrscheinlichkeit dafuer, dass Denis so frustiert ist, dass er es wagt, einen blick in die klausuren werfen zu wollen, betrage in jeder nacht 0.05. Die Anlage schlaegt in irgendeiner nacht alarm. Berechnen sie die wahrscheinlichkeit dafuer dass Dennis am werk ist. |
$D$ definiere ich das Ereignis,dass es Dennis ist und $ A$ der Alarm einfach so losgeht [mm] $P(D)=5\%$ [/mm] , [mm] $P(A|D)=99,5\% [/mm] $, [mm] $P(A|D^c)=0,1\%$
[/mm]
formel von Bayer für meinen Fall [mm] $P(D|A)=\frac{P(A|D)*P(D)}{P(A)}$
[/mm]
Mit $P(A)= [mm] P(A|D)*P(D)+P(A|D^c)*P(D^c)$
[/mm]
Jetzt die fehlenden Wahrscheinlichkeiten errechenen
[mm] $P(D^c)= [/mm] 1-P(D)=1-0,05= 0,95$
[mm] $P(A|D^c)= [/mm] 1- P(A|D)= 1-0,995= 0,005$
Daraus folgt $P(A)=0,995*0,05+0,005*0,95$
[mm] $\Rightarrow P(D|A)=\frac{P(A|D)*P(D)}{P(A)}= \frac{0,995*0,05}{0,995*0,05+0,005*0,95}= [/mm] 0,9128 [mm] \approx 91,2\%$
[/mm]
ist das richtig so?
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Du warst nahe dran, aber nein, das stimmt nicht. $ [mm] P(A|D^c)= [/mm] 1- P(A|D)$ ist falsch. $ [mm] P(A|D^c)+P(A|D)$ [/mm] muss nicht zwingend 1 ergeben, weil der Alarm nicht zwigend losgeht.
Gehen wir das doch zusammen Schritt für Schritt durch:
Sei $D$ das Ereignis "Dennis ist am Werk". Sei $A$ das Ereignis "Der Alarm geht los".
Dein Problem ist, dass $P(A)$ nicht bekannt ist. Du musst es auch berechnen, und das geht mit folgende Trick: ich kann mit Bayes sowohl die W'keit für "Dennis ist am Werk" wie auch für "Dennis ist nicht am Werk" berechnen:
(1) $ [mm] P(D|A)=\frac{P(A|D)\cdot{}P(D)}{P(A)} [/mm] $
(2) $ [mm] P(D^c|A)=\frac{P(A|D^c)\cdot{}P(D^c)}{P(A)} [/mm] $
Die beiden schliessen sich gegenseitig aus; eine davon ist sicher wahr, also gilt hier:
(3) $ P(D|A)+ [mm] P(D^c|A)=1$
[/mm]
Ich ersetze nun alle Zahlen ein, die ich aus der Aufgabenstellung kenne
(1) $ [mm] P(D|A)=\frac{0.995\cdot{}0.05}{P(A)} [/mm] $
(2) $ [mm] P(D^c|A)=\frac{0.001\cdot{}0.95}{P(A)} [/mm] $
(3) $ P(D|A)+ [mm] P(D^c|A)=1$
[/mm]
Und dieses Gleichungssystem mit drei Unbekannten löse ich auf: [mm] [b]$P(D|A)=98.13\,\%$[/b], [/mm] $ [mm] P(D^c|A)=1.87\,\%$, $P(A)=5.07\,\%$.
[/mm]
Was ich sagen will: die Grösse $P(A)$ im Nenner der rechten Seite ist in Bayes eigentlich immer schwierig, aber sobald Du eine vollständige Sammlung sich gegenseitig ausschliessender Ereignisse hast, wird $P(A)$ einfach nur noch zu jener Zahl, welche dafür sorgt, dass die Summe der Wahscheinlicheiten der sich gegenseitig ausschleissenden Ereignisse eins wird.
Hilft das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Sa 06.12.2014 | | Autor: | LGS |
@ M.Rex deine Tafel verstehe ich nicht so ganz.. :/
@ Hanspeter.Schmid deine Lösung ist einfach nur genial!:D DAnke!!!!
wenn ich das nochmal vorkauen darf zu überprufung
$ P(D|A)+ [mm] P(D^c|A)=1 [/mm] <=> P(D|A)=1- [mm] P(D^c|A) [/mm] <=> [mm] \frac{0.995\cdot{}0.05}{P(A)}= [/mm] 1- [mm] \frac{0.001\cdot{}0.95}{P(A)} [/mm] $ auf beiden Seiten $|*P(A) $ .Dann ist äquivalent $<=> [mm] 0.995\cdot{}0.05= [/mm] P(A)- [mm] 0.001\cdot{}0.95 [/mm] $ jetzt $| [mm] +(0.001\cdot{}0.95 [/mm] ) $ daraus folgt $P(A)= [mm] 0.995\cdot{}0.05+0.001\cdot{}0.95 [/mm] $
jetzt in Bayes eingesetzt $ [mm] P(D|A)=\frac{0.995\cdot{}0.05}{0.995\cdot{}0.05+0.001\cdot{}0.95} [/mm] = 0.981262327 [mm] \approx [/mm] 98,12 [mm] \% [/mm] $
geile lösung Hanspeter.Schmid!!! danke
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Ja, genau so.
Und danke für die Blumen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Fr 05.12.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde solche Aufgaben mit einer  Vierfeldertafel aufstellen
Hier also:
[mm] \vmat{\Box&A&\overline{A}&\summe\\D&P(A\cap D)&P(\overline{A}\cap D)&P(D)\\\overline{D}&P(A\cap \overline{D})&P(\overline{A}\cap \overline{D})&P(\overline{D})\\\summe&P(A)&P(\overline{A})&1} [/mm]
Mit deinen konkreten Werten:
[mm] \vmat{\Box&A&\overline{A}&\summe\\D&0,995\cdot0,05&P(\overline{A}\cap D)&0,05\\\overline{D}&P(A\cap \overline{D})&0,001\cdot0,95&0,95\\\summe&P(A)&P(\overline{A})&1} [/mm]
Das ist meiner Meinung nach übersichtlicher, und du kannst die fehlenden Werte leichter errechnen.
Marius
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