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folgen und reihen: geschlossener ausdruck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:29 Di 27.01.2009
Autor: FranzFerdinand

Aufgabe
Gegeben sind die Reihen
[mm] f(x)=1+\summe_{i=1}^{\infty}x^{i} [/mm] mit |x|<1
[mm] g(x)=1+\summe_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}*x^{i} [/mm] mit |x|<1

Berechnen Sie f(x)*g(x) indem Sie f(x) und g(x) in geschlossene Ausdrücke umformen. Bilden Sie anschließend das gesuchte Produkt und formen Sie den so erhaltenen Ausdruck in eine Reihe um.

Hallo,
ich hab mich mal an der Aufgabe versucht.

Also zuerst zu f(x):
Ich hab erst mal die Folgenglieder aufgeschrieben:
[mm] s(n)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{n} [/mm]
Jetzt ist es bei einer geometrischen Reihe ja so, dass ich immer durch einen Bestimmten Wert q teile
--> [mm] s(n)=1+x+x*q+x*q^{2}+...+x*q^{n-1} [/mm]
Dann [mm] s(n)*q=q+x*q+x*q^{2}+x*q^{3}+...+x+q^{n-1}+x*q^{n} [/mm]

[mm] s(n)*q-s(n)=q-1+x*q^{n} [/mm]
[mm] s(n)*(q-1)=q-1+x*q^{n} [/mm]
[mm] s(n)=1+\bruch{x*q^{n}}{q-1} [/mm]
Da nun x<1 gilt:
[mm] s(n)=1-\bruch{x*q^{n}}{1-q} [/mm]

So bevor ich das jetzt auch mit g(x) mach, würd ich gern wissen, ob das überhaupt stimmt.

Vielen Dank schonmal für Eure Antworten!
Grüße
Franz

        
Bezug
folgen und reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Di 27.01.2009
Autor: fred97

Was Du hier brauchst ist die  geometrische Reihe

[mm] $\summe_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{\infty}q^i [/mm]  = [mm] \bruch{1}{1-q}$ [/mm]

für |q|<1

Dann ist      $f(x) = [mm] \bruch{1}{1-x}$ [/mm] und $g(x) = [mm] \bruch{1}{1+x}$, [/mm] also

     $f(x)g(x) [mm] =\bruch{1}{1-x^2}$ [/mm] = [mm] $\summe_{i=0}^{\infty}x^{2i}$ [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
folgen und reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:49 Di 27.01.2009
Autor: FranzFerdinand

hmm, ok.
klar, die geometrische reihe kann man nachschauen, aber ich wüsste gerne, wie ich mir das ergebnis herleiten kann...

Bezug
                        
Bezug
folgen und reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Di 27.01.2009
Autor: fred97

Sei |q|<1 und [mm] s_n [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}q^i [/mm]

Zeige induktiv:  [mm] s_n [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm]

Da |q|<1, konvergiert [mm] (q^n) [/mm] gegen 0, also konv. [mm] (s_n) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm]



FRed

Bezug
                                
Bezug
folgen und reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 27.01.2009
Autor: FranzFerdinand

und wie komm ich nun auf die teilsumme, also wie zeige ich das induktiv?

Bezug
                                        
Bezug
folgen und reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Di 27.01.2009
Autor: angela.h.b.


> und wie komm ich nun auf die teilsumme, also wie zeige ich
> das induktiv?

Hallo,

indem Du eine vollständige Induktion machst.

Ich glaube übrigens nicht, daß die Herleitung des Reihenwertes der geometrischen Reihe  Bestandteil der ursprünglichen Aufgabe ist. das wurde ja mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit in der Vorlesung gemacht, und gehört zu der mathematischen Minimalausstattung, die man allzeit dabei haben sollte - und nach der auch immer mal  gern gefragt wird.

Gruß v. Angela


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