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fixpunkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Fr 30.01.2009
Autor: simplify

Aufgabe
Warum hat jede durch eine stetige Funktion [mm] g:[0,1]\to[0,1] [/mm] gegebene Iteration [mm] x_{n+1}=g(x_{n}) [/mm]  (mindestens) einen Fixpunkt?

boitte helft mir!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
fixpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 Fr 30.01.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Warum hat jede durch eine stetige Funktion [mm]g:[0,1]\to[0,1][/mm]
> gegebene Iteration [mm]x_{n+1}=g(x_{n})[/mm]  (mindestens) einen
> Fixpunkt?


Hallo simplify,

das kann man sich wohl grafisch klar machen.
Der Graph von g muss eine zusammenhängende
Kurve sein, welche die Punkte A(0/a) und B(1/b)
mit a=g(0), b=g(1) und also [mm] 0\le a\le [/mm] 1 und [mm] 0\le b\le [/mm] 1
miteinander verbindet und ganz innerhalb des
Quadrats OPQR mit O(0/0) und Q(1/1) verläuft.
Diese Kurve muss an wenigstens einer Stelle die
Diagonale [mm] \overline{OQ} [/mm] schneiden. Der x-Wert
eines solchen Schnittpunkts ist ein Fixpunkt von g.

Sollte statt eines solchen sehr anschaulichen
Beweises ein mehr formaler Beweis gefragt sein,
würde ich dir empfehlen, die Funktion f(x):=g(x)-x
zu betrachten und den Zwischenwertsatz auf dem
Intervall [0;1] anzuwenden - ein "besserer"
Beweis wäre dies aber meiner Ansicht nach
kaum.

Gruß    Al-Chw.



Edit:   Statt "Zwischenwertsatz" hatte ich zuerst
"Mittelwertsatz" geschrieben, was irreführend ist.


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