finde unitäre matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | finde eine unitäre matrix U [mm] \in [/mm] U(3, [mm] \IC) [/mm] , so das U^-1AU diagonalgestalt hat.
A: [mm] \pmat{ 1 & i & -\wurzel{2}\\ -i & 1 & -i\wurzel{2} \\ -\wurzel{2} & i\wurzel{2} & 0}
[/mm]
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Hallo
Kann mir jm ein kurzes stichwort nennen, wie man die unitäre matrix findet?
Wäre nett!!!
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nochmal hallo,
ich habe mal versucht die eigenwerte zu bestimmen, aber ich bekomme dann für das charakteristische polynom 0 raus. Dann habe ich keine Eigenwerte und keine Eigenvektoren??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 So 25.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo,
dein charakteristisches Polynom kann gar nicht Null werden, du musst dich irgendwo verrechnet haben (du musst das char. Polynom =0 setzen, das ist was anderes!)
Ich erhalte zwei reelle Eigenwerte, davon einen mit algebraischer Vielfachheit 2.
Gruß,
Vreni
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hallo,
ich hab'S jetzt 3 mal nachgerechnet... und komme immer noch auf 0
ich entwicklte zur 3.Spalte, dann komme ich auf
[mm] \wurzel{2}(i(-i\wurzel{2})-(\lambda-1)(\wurzel{2}))+i\wurzel{2}((\lambda-1)(-i\wurzel{2})-(-i)(\wurzel{2}))
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}(\wurzel{2}-\wurzel{2}\lambda+\wurzel{2})+i\wurzel{2}(-i\wurzel{2}\lambda+i\wurzel{2}+i\wurzel{2})
[/mm]
[mm] =\wurzel{2}(2\wurzel{2}-\wurzel{2}\lambda)+i\wurzel{2}(-i\wurzel{2}\lambda+2i\wurzel{2})
[/mm]
[mm] =4-2\lambda+2\lambda-4
[/mm]
=0
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Hallo Weihnachtsmann,
> hallo,
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> ich hab'S jetzt 3 mal nachgerechnet... und komme immer noch
> auf 0
>
> ich entwicklte zur 3.Spalte, dann komme ich auf
Puh, besser mit Sarrus 
>
>
> [mm]\wurzel{2}(i(-i\wurzel{2})-(\lambda-1)(\wurzel{2}))\red{-}i\wurzel{2}((\lambda-1)(-i\wurzel{2})-(-i)(\wurzel{2}))[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2}(\wurzel{2}-\wurzel{2}\lambda+\wurzel{2})+i\wurzel{2}(-i\wurzel{2}\lambda+i\wurzel{2}+i\wurzel{2})[/mm]
>
> [mm]=\wurzel{2}(2\wurzel{2}-\wurzel{2}\lambda)+i\wurzel{2}(-i\wurzel{2}\lambda+2i\wurzel{2})[/mm]
> [mm]=4-2\lambda+2\lambda-4[/mm]
> =0
Da ist auf jeden Fall ein VZF ganz zu Anfang und es scheint mir die dritte Unterdeterminante zu fehlen, also der dritte Summand in der Entwicklung:
Das ist [mm] $\lambda\cdot{}\left[(\lambda-1)\cdot{}(\lambda-1)-(i\cdot{}(-i)\right]$
[/mm]
Ich hab's mit Sarrus berechnet und komme auf ein "nettes" charakt. Polynom 
LG
schachuzipus
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hallo,
ja stimmt, mit saurus geht's ja viel schneller!!!
chark [mm] pol=4-4\lambda
[/mm]
also ist 1 ein eigenwert.
Stimmt das?
Nein! ich hab meinen fehler entdeckt!!! ^^
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hallo,
hab jetzt [mm] x^3-2x^2-6x+8 [/mm] als char.poly raus.
stimmt das?
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Hallo nochmal,
> hallo,
>
> hab jetzt [mm]x^3-2x^2-6x+8[/mm] als char.poly raus.
> stimmt das?
Ich meine, da müsste beim x ne -4 hin, also [mm] $cp(x)=x^3-2x^2\red{-4}x+8$
[/mm]
>
>
>
LG
schachuzipus
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Hallo,
ja stimmt!
Ich habe noch eine frage zum eigenwert 2, dann hab ich in der matrix [mm] 1x_1-ix_2+\wurzel{2}x_3=0 [/mm] stehen (in den anderen beiden Zeilen sind überall Nullen)
Ist dann mein Eigenvektor von 2 Variablen abhängig?
[mm] \bruch{1}{\wurzel{3t^2}}\vektor{is-\wurzel{2}t \\ s \\ t}
[/mm]
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> Ich habe noch eine frage zum eigenwert 2, dann hab ich in
> der matrix [mm]1x_1-ix_2+\wurzel{2}x_3=0[/mm] stehen (in den anderen
> beiden Zeilen sind überall Nullen)
>
> Ist dann mein Eigenvektor von 2 Variablen abhängig?
Hallo,
der Lösungsraum des Gleichungssystems hat die Dimension 2, die Lösungen haben die Gestalt
[mm] \vektor{is-\wurzel{2}t \\ s \\ t},
[/mm]
Du erhältst also zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum Eigenwert 2.
Gruß v. Angela
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Hallo,
wie kann ich diesen Eigenvekotr normieren?
stünde dann vor dem [mm] vektor\bruch{1}{ \wurzel{-2i\wurzel{2}st+3t^2}} [/mm] ?
>
> > Ich habe noch eine frage zum eigenwert 2, dann hab ich in
> > der matrix [mm]1x_1-ix_2+\wurzel{2}x_3=0[/mm] stehen (in den anderen
> > beiden Zeilen sind überall Nullen)
> >
> > Ist dann mein Eigenvektor von 2 Variablen abhängig?
>
> Hallo,
>
> der Lösungsraum des Gleichungssystems hat die Dimension 2,
> die Lösungen haben die Gestalt
>
> [mm]\vektor{is-\wurzel{2}t \\ s \\ t},[/mm]
>
> Du erhältst also zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum
> Eigenwert 2.
>
> Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> wie kann ich diesen Eigenvekotr normieren?
Hallo,
das ist das geringere der Probleme.
Ich habe nämlich den entsetzlichen Verdacht, daß Du noch gar nicht erkannt hast, wie eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2 aussieht.
Ich schrieb ja, daß alle Lösungen die Gestalt
>>> $ [mm] \vektor{is-\wurzel{2}t \\ s \\ t}, [/mm] $
haben.
Jede Lösung kann man also schreiben als [mm] \vektor{is \\ s \\ 0}+ \vektor{-\wurzel{2}t \\ 0 \\ t}=t* \vektor{... \\ ... \\ ...}+ s\vektor{... \\ ... \\ ...}.
[/mm]
Was ist also eine Basis des gerade betrachteten Raumes?
Diese Vektoren kannst Du dann normieren, wenn Du möchtest. (Beachte, daß sie nicht orthogonal sind)
Gruß v. Angela
> stünde dann vor dem [mm]vektor\bruch{1}{ \wurzel{-2i\wurzel{2}st+3t^2}}[/mm]
> ?
> >
> > > Ich habe noch eine frage zum eigenwert 2, dann hab ich in
> > > der matrix [mm]1x_1-ix_2+\wurzel{2}x_3=0[/mm] stehen (in den anderen
> > > beiden Zeilen sind überall Nullen)
> > >
> > > Ist dann mein Eigenvektor von 2 Variablen abhängig?
> >
> > Hallo,
> >
> > der Lösungsraum des Gleichungssystems hat die Dimension 2,
> > die Lösungen haben die Gestalt
> >
> > [mm]\vektor{is-\wurzel{2}t \\ s \\ t},[/mm]
> >
> > Du erhältst also zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum
> > Eigenwert 2.
> >
> > Gruß v. Angela
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