www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Numerik" - fehlerhafte Addition
fehlerhafte Addition < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

fehlerhafte Addition: Eulersche Zahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 01.05.2010
Autor: Heureka89

Aufgabe
[mm] e_n:=(1+1/n)^n=e+O(n^{-1}) [/mm]

Zeigen Sie, dass unter der fehlerbehafteten Addition [mm] 1\oplus1/n [/mm] = [mm] 1+1/n+O(\varepsilon) [/mm] gilt:

[mm] e_{n}' [/mm] = e + [mm] O(n^{-1})+O(n\varepsilon) [/mm]

Also ich habe es mit der binomischen Formel probiert.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(1+1/n)^{n}O(\varepsilon)^{k} [/mm] = [mm] (1+1/n)^{n}+n(1+1/n)^{n-1}O(\varepsilon)+... [/mm]
Also die restlichen Summanden müsten wegfallen, weil ja [mm] O(\varepsilon)^{2} [/mm] schon sehr klein ist, und weggelassen werden kann.
Aber wie man die ersten beiden Summanden auf die gewünschte Form kriegt, sehe ich leider nicht.

        
Bezug
fehlerhafte Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Sa 01.05.2010
Autor: mathfunnel

Hallo Heureka89,
ich nehme an, dass [mm] $e_n' [/mm] := [mm] (1\oplus \frac{1}{n})^n$. [/mm]
Aus Deiner Formel
[mm] $e_n' [/mm] = [mm] (1+\frac{1}{n}+\mathcal{O}(\varepsilon))^n= \sum_{k=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose k}(1+\frac{1}{n})^{n-k}\mathcal{O}(\varepsilon)^{k} [/mm]  = [mm] (1+\frac{1}{n})^{n}+n(1+\frac{1}{n})^{n-1}\mathcal{O}(\varepsilon)+... [/mm] $
(den Schreibfehler $n$ habe ich mit $n-k$ korrigiert)
folgt [mm] $|e_n' [/mm] - e| = [mm] |e_n' [/mm] - [mm] e_n [/mm] + [mm] e_n [/mm] - e| [mm] \leq |e_n' [/mm] - [mm] e_n| [/mm] + [mm] |e_n [/mm] - e| [mm] \leq n(1+\frac{1}{n})^{n-1}\mathcal{O}(\varepsilon) [/mm] + [mm] \mathcal{O}(n^{-1})$. [/mm] Der Rest ist klar, oder?

Gruß

mathfunnel


Bezug
        
Bezug
fehlerhafte Addition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:32 Sa 01.05.2010
Autor: Heureka89

Hi,

danke schonmal für die Antwort.
Leider sehe ich noch nicht, wie es weitergehen soll.
Könnte man nun [mm] |e_{n}'+e| [/mm] abschätzen, und dann die beiden Ausdrücke vergleichen?

Bezug
                
Bezug
fehlerhafte Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Sa 01.05.2010
Autor: mathfunnel

Hallo Heureka89,

wir reden doch von [mm] $|e_n' [/mm] - e|$ und nicht von  [mm] $|e_n' [/mm] + e|$.

Das Ergebnis steht doch schon (fast) da:

[mm] $|e_n' [/mm] - e| [mm] \leq n(1+\frac{1}{n})^{n-1}\mathcal{O}(\varepsilon) [/mm] + [mm] \mathcal{O}(n^{-1})$ [/mm]

Diese Ungleichung bedeutet, dass [mm] $e_n' [/mm] =  e +  [mm] \mathcal{O}(n^{-1})+\mathcal{O}(n\varepsilon) [/mm] $.
Denn es gilt, dass [mm] $(1+\frac{1}{n})^{n-1}$ [/mm] gegen $e$ geht, und [mm] $n\mathcal{O}(\varepsilon) [/mm] = [mm] \mathcal{O}(n\varepsilon) [/mm] $.


Gruß

mathfunnel


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]