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moin,
Bekanntermaßen wächst der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer um 2.
Also für $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: [mm] $(n+2)^2 [/mm] - [mm] (n+1)^2 [/mm] = [mm] (n+1)^2 [/mm] - [mm] n^2 [/mm] + 2$
Das lässt sich noch durch einfaches ausmultiplizieren einsehen.
Für dritte Potenzen muss man schon etwas komplizierter hantieren:
Sei wieder $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Betrachte a := [mm] $(n+3)^3 [/mm] - [mm] (n+2)^3$, [/mm] b := [mm] $(n+2)^3 [/mm] - [mm] (n+1)^3$, [/mm] c = [mm] $(n+1)^3 [/mm] - [mm] n^3$
[/mm]
weiterhin d := a-b, e := b-c und f := d-e
Dann ist f konstant für alle n und f = 6.
Das mit dieser Art rekursiven Definition wird natürlich für noch größere Potenzen verdammt mühseelig, deshalb hab ich versucht es ein wenig umzuschreiben und bin zu folgender Feststellung gelangt:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: \summe_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}(-1)^k(a-k)^n [/mm] = n!$
hierbei ist a eine beliebige reele (oder wems gefällt auch komplexe) Zahl.
Das ganze lässt sich wenn ich mich nicht vertan habe mit ein wenig Induktion (oder eher ein wenig mehr^^) beweisen, der Beweis ist also nicht mein Problem.
Was mich aber interessiert ist, ob diese Differenzen von Potenzzahlen oder auch diese Definition der Fakultät irgendwem bekannt sind, vielleicht einen hübschen Namen haben oder so, oder ob das nur irgend eine Formel ist, die nicht weiter nennenswert ist.
Oder kürzt sich hier beim Binominalkoeffizienten schlicht und ergreifend auf irgend eine magische Art der Nenner weg?^^
Also falls jemand irgendwas davon schonmal gesehen hat, immer raus damit. ;)
thx
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 06.10.2011 | | Autor: | reverend |
Bonsoir Sire von Schadow,
> [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: \summe_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}(-1)^k(a-k)^n [/mm] = n!$
>
> hierbei ist a eine beliebige reelle (oder wems gefällt auch
> komplexe) Zahl.
also ich kenne das noch nicht.
Mir gelingt aber auch nicht, Deine Formel für kleine a,k,n anzuwenden und nachzuweisen. Vielleicht bin ich zu sehr abgelenkt oder überarbeitet, blind oder blöd oder blond (ok, letzteres ist nachweislich auszuschließen).
Kannst Du mal ein Beispiel vorrechnen? Vielleicht liegt es ja auch nur an einem minimalen Notationsfehler, dass ich damit nicht klarkomme.
Grüezi ex post,
reverend
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> Bonsoir Sire von Schadow,
>
> > [mm]\forall n \in \IN: \summe_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k(a-k)^n = n![/mm]
>
> >
> > hierbei ist a eine beliebige reelle (oder wems gefällt
> auch
> > komplexe) Zahl.
>
> also ich kenne das noch nicht.
> Mir gelingt aber auch nicht, Deine Formel für kleine
> a,k,n anzuwenden und nachzuweisen. Vielleicht bin ich zu
> sehr abgelenkt oder überarbeitet, blind oder blöd oder
> blond (ok, letzteres ist nachweislich auszuschließen).
>
> Kannst Du mal ein Beispiel vorrechnen? Vielleicht liegt es
> ja auch nur an einem minimalen Notationsfehler, dass ich
> damit nicht klarkomme.
>
> Grüezi ex post,
> reverend
>
Nehmen wir mal n=3, a = 4.
Das einsetzen ergibt:
[mm] $\summe_{k=0}^3 [/mm] {3 [mm] \choose k}(-1)^k(4-k)^n [/mm] = [mm] 4^3 -3*3^3 [/mm] + [mm] 3*2^3 [/mm] - [mm] 1^3 [/mm] = 6 = 3!$
Ich hab sie auch noch nicht gesehen und es ist mir bisher noch nicht gelungen einen tieferen Sinn oder eine besondere Erkenntnis daraus zu gewinnen.
eine Summenschreibweise für die Fakultät fällt raus, da im Binomialkoeffizienten selbige nochmal drinnsteckt.
Man könnte es höchstens umbasteln zu:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \forall [/mm] a [mm] \in \IC: \summe_{k=0}^n \frac{(-1)^k(a-k)^n}{k!(n-k)!} [/mm] = 1$
Womit man eine wunderhübsch komplizierte Schreibweise der 1 hat (also gäbe es nicht schon genug davon^^).
edit: oder ne, man hat sogar [mm] $|\IN \times \IC [/mm] |$ Darstellungen für die 1, damit dürften es aber endlich genug sein. xD
Bleibt allerdings die Frage offen, ob das nur irgend ein unbedeutender Term ist oder ob es damit irgend eine Relevanz hat; und natürlich ob es in irgend einer Form interessant ist die Abstände der Abstände der ... der Potenzen beliebiger Zahlen und deren Nachfolger (+1) zu betrachten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Do 06.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ok, jetzt habe ichs verstanden und nebenbei einen völlig bescheuerten Fehler in meiner Werteermittlung gefunden.
Mehr sehe ich noch nicht, aber eine spannende Entdeckung scheint es mir allemal! Mal sehen, ob jemand mehr dazu weiß.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Do 06.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow!
> Bekanntermaßen wächst der Abstand zwischen
> aufeinanderfolgenden Quadratzahlen immer um 2.
> Also für [mm]n \in \IN[/mm] gilt: [mm](n+2)^2 - (n+1)^2 = (n+1)^2 - n^2 + 2[/mm]
>
> Das lässt sich noch durch einfaches ausmultiplizieren
> einsehen.
> Für dritte Potenzen muss man schon etwas komplizierter
> hantieren:
> Sei wieder [mm]n \in \IN[/mm]
> Betrachte a := [mm](n+3)^3 - (n+2)^3[/mm], b
> := [mm](n+2)^3 - (n+1)^3[/mm], c = [mm](n+1)^3 - n^3[/mm]
> weiterhin d :=
> a-b, e := b-c und f := d-e
> Dann ist f konstant für alle n und f = 6.
Allgemein gilt: ist $f$ ein Polynom von Grad $n > 0$, so ist $g(x) := f(x + a) - f(x)$ fuer jedes $a [mm] \neq [/mm] 0$ ein Polynom von Grad $n - 1 [mm] \ge [/mm] 0$. (Bezeichnen wir mal $g$ mit [mm] $D_a(f)$. [/mm] Dann ist [mm] $D_a [/mm] : [mm] K[x]_{\le n} \to K[x]_{\le n - 1}$ [/mm] surjektiv und $K$-linear.)
Daraus folgt, dass die Differenz von Quadratzahlen nach zwei Differenzenbildungen konstant ist, und die Differenz von Kubikzahlen nach drei Differenzenbildungen. Das ist sozusagen altbekannt :)
Weiterhin gilt: ist $f(x) = [mm] x^n$, [/mm] so gilt [mm] $D_a(f) [/mm] = n a [mm] x^{n-1} [/mm] + [mm] O(x^{n-2})$. [/mm] Sprich: wendet man [mm] $D_a$ [/mm] genau [mm] $\deg [/mm] f$-mal auf $f$ an, und ist $f$ normiert, so ist das Ergebnis $n! [mm] \cdot a^n$. [/mm] In deinem Fall ist $a = 1$, und oben hast du im Fall [mm] $\deg [/mm] f = 2$ bereits $2 = 2!$ erhalten und im Fall [mm] $\deg [/mm] f = 3$ auch $6 = 3!$. Passt also. Ich weiss nicht genau wo man sowas findet, aber das duerfte ebenfalls altbekannt sein.
> Das mit dieser Art rekursiven Definition wird natürlich
> für noch größere Potenzen verdammt mühseelig, deshalb
> hab ich versucht es ein wenig umzuschreiben und bin zu
> folgender Feststellung gelangt:
>
> [mm]\forall n \in \IN: \summe_{k=0}^n {n \choose k}(-1)^k(a-k)^n = n![/mm]
>
> hierbei ist a eine beliebige reele (oder wems gefällt auch
> komplexe) Zahl.
Sprich: auf der linken Seite steht ein Polynom in $a$ von Grad [mm] $\le [/mm] n$ mit ganzzahligen Koeffizienten, und auf der rechten Seite das konstante Polynom $n!$. (Die Identitaet gilt also in jedem beliebigen kommutativen Ring mit Eins.)
> Das ganze lässt sich wenn ich mich nicht vertan habe mit
> ein wenig Induktion (oder eher ein wenig mehr^^) beweisen,
> der Beweis ist also nicht mein Problem.
Laut Maple stimmt es fuer $n = 1, [mm] \dots, [/mm] 10$.
> Was mich aber interessiert ist, ob diese Differenzen von
> Potenzzahlen oder auch diese Definition der Fakultät
> irgendwem bekannt sind, vielleicht einen hübschen Namen
> haben oder so, oder ob das nur irgend eine Formel ist, die
> nicht weiter nennenswert ist.
Deine Formel kannte ich noch nicht. Es gibt allerdings gefuehlte 10 Millionen solche Identitaeten, es kann also gut sein dass irgendwer sie schonmal gesehen hat :)
Wenn man das Polynom [mm] $f_n(x) [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k [/mm] (x - [mm] k)^n$ [/mm] mal $t$-mal ableiten und $x = 0$ einsetzen mit $0 < t [mm] \le [/mm] n$, dann steht da [mm] $\frac{d^t f_n}{d x^t}(0) [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n - t)!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (-k)^{n-t}$. [/mm] Wenn deine Identitaet stimmt, muss da 0 herauskommen. Die Potenz $n$ bei $(x - [mm] k)^n$ [/mm] in deiner Identitaet ist also wichtig: verringert man sie, kommt 0 heraus.
Wenn mir noch was besseres einfaellt melde ich mich 
LG Felix
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zu aller erst mal danke für die Antwort
> Daraus folgt, dass die Differenz von Quadratzahlen nach
> zwei Differenzenbildungen konstant ist, und die Differenz
> von Kubikzahlen nach drei Differenzenbildungen. Das ist
> sozusagen altbekannt :)
hätte mich auch ehrlich gesagt gewundert wenn nicht.^^
> (Die Identitaet gilt also in jedem beliebigen kommutativen Ring mit Eins.)
Sicher?
Wenn ja dann müsste sie ins besondere für [mm] $\IF_2$ [/mm] gelten.
Betrachten wir mal n=2 über [mm] $\IF_2$.
[/mm]
Da $0! = 1! = 1$ können wir schonmal alle Fakultäten und somit den Binomialkoeffizienten wegfallen lassen.
Da weiterhin [mm] $(-1)^k [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN_0$ [/mm] fällt auch dies weg.
Es bleibt also da stehen:
$1 = [mm] \summe_{k=0}^2 (1-k)^2 [/mm] = [mm] (1-0)^2 [/mm] + [mm] (1-1)^2 [/mm] + [mm] (1-2)^2 [/mm] = 1 + 0 + 1 = 1 + 1 = 0$
Somit wäre, würde diese Identität über allen kommutativen Ringen mit 1 (und somit ins besondere Körpern) gelten also in [mm] $\IF_2$ [/mm] 1=0, was ein kleines Problemchen darstellen dürfte.^^
Vielleicht erzähle ich da auch gerade Müll, aber es stört mich momentan doch ein wenig...
> dann steht da [mm]\frac{d^t f_n}{d x^t}(0) = \frac{n!}{(n - t)!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (-k)^{n-t}[/mm].
> Wenn deine Identitaet stimmt, muss da 0 herauskommen. Die
> Potenz [mm]n[/mm] bei [mm](x - k)^n[/mm] in deiner Identitaet ist also
> wichtig: verringert man sie, kommt 0 heraus.
das kann man sich mit deiner obigen Erklärung auch anschaulich klarmachen:
Eine Verringerung der Potenz würde bedeuten, dass wir [mm] $D_a$ [/mm] m Mal anwenden mit m>deg(f).
Nach deiner obigen (sehr schön nachvollziehbaren) Erläuterung muss dann ja zwangsläufig 0 rauskommen.
> Wenn mir noch was besseres einfaellt melde ich mich
>
> LG Felix
>
also danke nochmal, hast mir schon sehr geholfen. ;)
lg und gute Nacht
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Fr 07.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > (Die Identitaet gilt also in jedem beliebigen kommutativen
> Ring mit Eins.)
>
>
> Sicher?
ja.
> Wenn ja dann müsste sie ins besondere für [mm]\IF_2[/mm] gelten.
Tut sie auch :)
> Betrachten wir mal n=2 über [mm]\IF_2[/mm].
> Da [mm]0! = 1! = 1[/mm] können wir schonmal alle Fakultäten und
> somit den Binomialkoeffizienten wegfallen lassen.
> Da weiterhin [mm](-1)^k = 1 \forall k \in \IN_0[/mm] fällt auch
> dies weg.
So darfst du das nicht machen: [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] ist ein Element von [mm] $\IZ$, [/mm] und du darfst erst dieses fertige Element modulo 2 nehmen (oder allgemeiner: in den Ring einbetten). Andernfalls teilst du noch durch Nicht-Einheiten...
> Es bleibt also da stehen:
> [mm]1 = \summe_{k=0}^2 (1-k)^2 = (1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-2)^2 = 1 + 0 + 1 = 1 + 1 = 0[/mm]
In [mm] $\IF_2$ [/mm] gilt uebrigens $2! = 0$, [mm] $\binom{2}{0} [/mm] = 1$, [mm] $\binom{2}{1} [/mm] = 0$, [mm] $\binom{2}{0} [/mm] = 1$. Damit steht da $0 = (a + [mm] 0)^2 [/mm] + (a + [mm] 2)^2 [/mm] = 2 [mm] a^2 [/mm] = 0$.
> > dann steht da [mm]\frac{d^t f_n}{d x^t}(0) = \frac{n!}{(n - t)!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k (-k)^{n-t}[/mm].
> > Wenn deine Identitaet stimmt, muss da 0 herauskommen. Die
> > Potenz [mm]n[/mm] bei [mm](x - k)^n[/mm] in deiner Identitaet ist also
> > wichtig: verringert man sie, kommt 0 heraus.
>
> das kann man sich mit deiner obigen Erklärung auch
> anschaulich klarmachen:
> Eine Verringerung der Potenz würde bedeuten, dass wir [mm]D_a[/mm]
> m Mal anwenden mit m>deg(f).
> Nach deiner obigen (sehr schön nachvollziehbaren)
> Erläuterung muss dann ja zwangsläufig 0 rauskommen.
Jein. Ableiten und [mm] $D_a$ [/mm] anwenden ist nicht ganz das gleiche 
LG Felix
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jut, jut, thx
Also kann man daraus basteln:
Sei K ein Körper, $a [mm] \in [/mm] K$, $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Man beweise:
[mm] $\summe_{k=0}^n \frac{(-1)^k(a-k)^n}{k!(n-k!)} [/mm] = 1$
oder wahlweise, für die ganz gemeinen:
Man berechne:
[mm] $\limes_{n \to \infty} \summe_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k(a-k)^n}{k!(n-k)!}$
[/mm]
hey, eine Reihendarstellung der 1, yeah. xD
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ah ja, stimmt auch wieder.
Ok, dann so:
Es ist $f : [mm] \IC \to \IC, [/mm] a [mm] \mapsto \limes_{n \to \infty} \summe_{k=0}^n \frac{(-1)^k(a-k)^n}{k!(n-k)!}$
[/mm]
gegeben.
Gib f(a) für alle $a [mm] \in \IC$ [/mm] in expliziter Form (ohne Summenzeichen) an.
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Hallo, Schadowmaster!
Deine Formel kannte ich schon. Du kannst dazu hier etwas lesen:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=8758
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=467587
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