f'(x)>o < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR\to\IR, [/mm] f(x)=2x+1+sin(x).
(a) Zeigen Sie, dass für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt f'(x)>0
(b)Aus dem Ergebnis aus (a) werden wir später schließen können, dass f streng monoton wachsend ist. Sei das jetzt vorrausgesetzt.
Zeigen Sie, dass f eine differenzierbare Umkehrfunktion g hat und berechnen Sie g'(1): |
(a) Die Funktion f(x) differenziert lautete:
f'(x)=2+cos(x)
Hier ist leicht zu erkennen, dass [mm] x\in\IR [/mm] f'(x)>0 gilt, da cosx ausschließlich werte zwischen [mm] -1\ge [/mm] x [mm] \le1 [/mm] an nimmt. Doch wie zeige ich dies?
(b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich sin(x) aufgelöst?
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei [mm]f:\IR\to\IR,[/mm] f(x)=2x+1+sin(x).
>
> (a) Zeigen Sie, dass für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt f'(x)>0
> (b)Aus dem Ergebnis aus (a) werden wir später schließen
> können, dass f streng monoton wachsend ist. Sei das jetzt
> vorrausgesetzt.
> Zeigen Sie, dass f eine differenzierbare Umkehrfunktion g
> hat und berechnen Sie g'(1):
> (a) Die Funktion f(x) differenziert lautete:
> f'(x)=2+cos(x)
> Hier ist leicht zu erkennen, dass [mm]x\in\IR[/mm] f'(x)>0 gilt, da
> cosx ausschließlich werte zwischen [mm]-1\ge[/mm] x [mm]\le1[/mm] an nimmt.
> Doch wie zeige ich dies?
[mm] $$2+\cos(x)\ge [/mm] 2+ (-1) =....$$
>
> (b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich
> y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich
> sin(x) aufgelöst?
Du sollst die Umkehrfunktion hier nicht explizit bestimmen. Du musst dir nochmal deine Aufzeichnungen angucken, wann genau eine Umkehrfunktion existiert usw.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo, reicht es um zu beweisen, dass:
$ f'(x)= 2 + cos(x) > 0 $ gilt. Wenn ich schreibe:
$ [mm] 2+\cos(x)\ge [/mm] 2+ [mm] (1)\ge [/mm] 2+ [mm] (0)\ge [/mm] 2+ (-1) > 0 $
> > (b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich
> > y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich
> > sin(x) aufgelöst?
>
> Du sollst die Umkehrfunktion hier nicht explizit bestimmen.
> Du musst dir nochmal deine Aufzeichnungen angucken, wann
> genau eine Umkehrfunktion existiert usw.
Eine Umkehrfunktion existiert wenn f streng monoton wachsend ist...wie kann ich das beweisen und wie finde ich g'(1) ohne die Umkehrfunktion g explizit zu kennen?
|
|
|
| |
|
> Hallo, reicht es um zu beweisen, dass:
>
> [mm]f'(x)= 2 + cos(x) > 0[/mm] gilt. Wenn ich schreibe:
>
[mm]2+\cos(x)\ \red{\ge}\ 2+ (1)\ge 2+ (0)\ge 2+ (-1) > 0[/mm]
Die erste Ungleichung ist falsch.
Du brauchst nur:
[mm]2+\underbrace{\cos(x)}_{\ge-1}\ge 2+ (-1) =1> 0[/mm]
> > > (b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich
> > > y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich
> > > sin(x) aufgelöst?
> >
> > Du sollst die Umkehrfunktion hier nicht explizit bestimmen.
> > Du musst dir nochmal deine Aufzeichnungen angucken, wann
> > genau eine Umkehrfunktion existiert usw.
>
>
> Eine Umkehrfunktion existiert wenn f streng monoton
> wachsend ist...wie kann ich das beweisen
Es wird ja auf das Ergebnis von (a) verwiesen. Im Zusam-
menhang z.B. mit Extremwertaufgaben wurde bestimmt
ein Satz bewiesen (oder wenigstens erwähnt), der genau
damit zu tun hat.
> und wie finde ich
> g'(1) ohne die Umkehrfunktion g explizit zu kennen?
Z.B. mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion
(im Umkreis der Kettenregel !)
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:13 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR\to\IR,[/mm] f(x)=2x+1+sin(x).
>
> (a) Zeigen Sie, dass für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt f'(x)>0
> (b)Aus dem Ergebnis aus (a) werden wir später schließen
> können, dass f streng monoton wachsend ist. Sei das jetzt
> vorrausgesetzt.
> Zeigen Sie, dass f eine differenzierbare Umkehrfunktion g
> hat und berechnen Sie g'(1):
> (a) Die Funktion f(x) differenziert lautete:
> f'(x)=2+cos(x)
> Hier ist leicht zu erkennen, dass [mm]x\in\IR[/mm] f'(x)>0 gilt, da
> cosx ausschließlich werte zwischen [mm]-1\ge[/mm] x [mm]\le1[/mm] an nimmt.
> Doch wie zeige ich dies?
Bist Du wirklich Mathematiklehrer ?
FRED
>
> (b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich
> y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich
> sin(x) aufgelöst?
|
|
|
| |
|
> Sei [mm]f:\IR\to\IR,[/mm] f(x)=2x+1+sin(x).
>
> (a) Zeigen Sie, dass für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt f'(x)>0
> (b)Aus dem Ergebnis aus (a) werden wir später schließen
> können, dass f streng monoton wachsend ist. Sei das jetzt
> vorrausgesetzt.
> Zeigen Sie, dass f eine differenzierbare Umkehrfunktion g
> hat und berechnen Sie g'(1):
> (a) Die Funktion f(x) differenziert lautete:
> f'(x)=2+cos(x)
> Hier ist leicht zu erkennen, dass [mm]x\in\IR[/mm] f'(x)>0 gilt, da
> cosx ausschließlich werte zwischen [mm]-1\ge[/mm] x [mm]\le1[/mm] an nimmt. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das erste Ungleichheitszeichen ist verkehrt gesetzt !
Außerdem geht es hier gar nicht um Ungleichungen
für x, sondern für die Cosinuswerte !
> Doch wie zeige ich dies?
Was ? Dass [mm] |cos(x)|\le [/mm] 1 ?
Denk an die Definition der Cosinusfunktion !
> (b) Um die Umkehrfunktion zu erhalten muss ich
> y=2x+1+sin(x) nach x auflösen...aber wie bekomme ich
> sin(x) aufgelöst?
Es wird gar nicht verlangt, eine explizite Formel für die
Umkehrfunktion aufzustellen. Es geht nur um die Existenz
einer differenzierbaren Umkehrfunktion. Funktionen können
auch implizit definiert werden.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
