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hallO!!
folgende aufgabe: f(x)= e hoch wurzel x!! sorry kann das nich mit den zeichen hier!:(
1. ich soll begründen warum f keine nullstellen hat, aber einen wendepunkt!
normalerweise kann ich sowas ja ableiten, aber das (umgeschrieben) [mm] e^x^1/2 [/mm] verwirrt mich. sind dann alle abletiungen bis zur 3. immer e hoch wurzel x?? denn die regel sagt [mm] e^x=e^x
[/mm]
es gibt noch weitere teiaufgaben, aber wenn ihr mir bei den ableitungen helfen könntet, wäre mir schon sehr geholfen! hinweise, teilschritte oder gleich die ableitungen wären hilfreich
falls ich dann doch nicht weiter komme, schreib ich die hier noch mit rein
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Mo 28.03.2005 | | Autor: | msmathe |
Hallo!
Die Funktion hat keine Nullstellen, da die Wurzel von negativen zahlen nicht definiert ist. Wurzel aus 0 ergibt 0 und e hoch 0 ist ja 1. Die Exponentialfunktionen haben generell keine Nullstellen weil e hoch x nie 0 wird. Die Funktion sollte nur für poitive Zahlen definiert sein.
Für die Ableitungen empfehle ich dir das Programm Derive 6. Die Demoversion kannst du 30 Tage ohne Einschränkung benutzen. Du kannst das Pragramm von hier herunterladen
http://shop.bk-teachware.com/k.asp?session=1619220&kat=10
Damit kannst du alle Ableitungen bestimmen. Die Ableitungen sind zeimlich schwer und kompliziert, gdaher lohnt sich das Programm auf jeden Fall. Ich wollte dir gerne weiter helfen, leider sind meine Ableitungskünste begrenzt, mit so ne Funktion habe auch Schwierigkeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Murat!
Ein paar Anmerkungen zu Deiner Antwort:
Zum ersten halte ich von der Variante "Ableitungen mit Programmen zu bestimmen" überhaupt nichts, da hier die Lern- und Übungseffekte völlig auf der Strecke bleiben.
Zum anderen steht mir ein solches Programm in einer Arbeit / Klausur ja auch nicht zur Verfügung. Und gerade hier ist ja dann auch der Lösungsweg zur Ermittlung der entsprechenden Ableitung sehr (punkt-)relevant.
Außerdem sind auch solche Programme nicht fehlerfrei.
Und sooo schwer sind hier die Ableitungen auch nicht, man muß sich halt etwas konzentrieren (was ja allgemein sehr hilfreich sein soll ...  ).
Kommen wir nun zu Deiner Argumentation der Nicht-Existenz von Nullstellen.
> Die Funktion hat keine Nullstellen, da die Wurzel von
> negativen zahlen nicht definiert ist. Wurzel aus 0 ergibt 0
> und e hoch 0 ist ja 1. Die Exponentialfunktionen haben
> generell keine Nullstellen weil e hoch x nie 0 wird. Die
> Funktion sollte nur für poitive Zahlen definiert sein.
Daß [mm] $e^{\wurzel{x}}$ [/mm] keine Nullstellen hat, liegt ja wohl keinesfalls daran, weil die Wurzel aus negativen Zahlen nicht definiert ist!
Die richtige Argumentation lautet hier, daß gilt: [mm] $e^z [/mm] \ > \ 0 \ [mm] \forall [/mm] \ z [mm] \in \IR$.
[/mm]
Das erwähnst Du ja richtigerweise, aber halt nicht als (einziges) Hauptargument!
Der Satz, daß die Wurzeln nur für nicht-negative Zahlen definiert ist, ist lediglich bei der Bestimmung des Definitionsbereiches der Funktion $f(x)$ relevant: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR_0^+$
[/mm]
So - nun habe ich fertig! Bitte lasse Dich nun durch diesen Artikel meinerseits nicht entmutigen, hier weiter Antworten zu geben.
Aber solche Tipps wie die Verweise auf Programme halte ich für ziemlich gefährlich (gerne kann man ein selbst ermitteltes Ergebnis derart überprüfen) ...
Gruß
Loddar
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Hi, Christoph,
> folgende aufgabe: f(x)= e hoch wurzel x!! sorry kann das
> nich mit den zeichen hier!:(
> 1. ich soll begründen warum f keine nullstellen hat, aber
> einen wendepunkt!
Die Definitionsmenge und 1. Ableitung hat Dir ja Loddar schon gegeben!
Dass es keine NS gibt, ist durch "Lösungsversuch" des Ansatzes
[mm] e^{\wurzel{x}} [/mm] = 0
schnell erkannt: "ln(0)" gibt's hat nicht!
Nun zur 2. Ableitung (Produkt- und Kettenregel):
f''(x) = [mm] -\bruch{1}{4}*x^{-\bruch{3}{2}}*e^{\wurzel{x}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4x}*e^{\wurzel{x}} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{\wurzel{x}-1}{x*\wurzel{x}}*e^{\wurzel{x}} [/mm]
f''(x) = 0 <=> x = 1.
Der Wert liegt in der Definitionsmenge
und ist eine EIN-fache Nullstelle von f''.
Daher hat die Funktion bei x=1 eine Wendestelle.
Wendepunkt: W(1;e).
Übrigens hat die Funktion bei x=0 einen Tiefpunkt: T(0;1).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
Eine kleine Anmerkung zu Zwerglein's Aussage:
> Übrigens hat die Funktion bei x=0 einen Tiefpunkt: T(0;1).
Bevor Du nun krampfhaft nach der Nullstelle der 1. Ableitung suchst, um diesen genannten Tiefpunkt zu ermitteln, sei hier gesagt, daß es sich um ein sogenanntes Randextremum am Rande des Definitionsbereiches handelt. Wir hatten ja gesagt: [mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR_0^+$.
[/mm]
Da sowohl die Wurzelfunktion [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] also auch die e-Funktion [mm] $e^z$ [/mm] jeweils (streng) monoton steigend sind, gilt das auch für unsere Funktion $f(x) \ = \ [mm] e^{\wurzel{x}}$.
[/mm]
Es gilt zudem [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}e^{\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] \infty$.
[/mm]
Daher ist der Randpunkt $T \ ( \ 0 \ | \ 1 \ )$ ein (Rand-)Extremum, da kein Funktionswert der Funktion kleiner ist.
Ich hoffe, ich habe mehr aufgeklärt als verwirrt ...
Gruß
Loddar
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hallo!!
vielen dank für die bisherige hilfe!! jetzt habe ich die ableitungen nochmal nachgerechnet und bin selbst druaf gekommen!
nun soll ich die fläche zwischen den achsen, dem funktionsbild und der gerade x=1 bestimmen!
was ich weiß: das integral e hoch wurzel x müsste wohl irgendwie mit partieller integration und/oder substitution zu lösen sein...
jedoch stecke ich da im moment fest!:(
mfg
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Hi, declatereter,
erst Substitution, dann partielle Integration.
Am besten, Du berechnest erst das unbestimmte Integral und kümmerst Dich um die Grenzen ganz am Schluss.
Ich helf' Dir bei den ersten Schritten:
[mm] z=\wurzel{x}; [/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
oder: dx = [mm] 2*\wurzel{x}*dz [/mm] bzw.: dx = 2*z*dz
Also:
[mm] \integral{e^{\wurzel{x}}dx}
[/mm]
= [mm] \integral{e^{z}* 2*z*dz} [/mm] = 2* [mm] \integral{z*e^{z}dz}
[/mm]
Naja: Und nun integrierst Du partiell mit u(z) = z; [mm] v'(z)=e^{z}.
[/mm]
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die substitution ist ok. und dx=dz*2*wurzelx auch. aber wie kommen sie auf dz=2*z*dz?? das is mir noch unklar...
und sie meinten die grenzen kommen später, aber wie bestimme ich diese bzw. wie sind die grenzen in dem fall??? sonst kann ich ja nicht die fläche berechnen!:)
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 29.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christoph!
> die substitution ist ok. und dx=dz*2*wurzelx auch. aber wie
> kommen sie auf dz=2*z*dz?? das is mir noch unklar...
Bei dem Ausdruck $dx \ = \ dz * 2 * [mm] \wurzel{x}$ [/mm] verwendet Zwerglein (den Du ruhig auch duzen darfst) nochmals die Substitution von $z \ := \ [mm] \wurzel{x}$. [/mm] Und schon sind alle "x" eliminiert ...
> und sie meinten die grenzen kommen später, aber wie
> bestimme ich diese bzw. wie sind die grenzen in dem fall???
> sonst kann ich ja nicht die fläche berechnen!:)
Bei (bestimmten) Integralen, die man mit dem Verfahren der Substitution löst, gibt es zwei Varianten bezüglich der Grenzen:
1. Man substituiert auch die Grenzen, die vorher ja als x-Variable auftraten und wandelt diese in z-Grenzen um:
(Nun passiert natürlich etwas sehr "schönes": In diesem speziellen Beispiel verändert sich nämlich gar nichts. Das ist dann wohl der Vorführeffekt ! )
[mm] $x_1 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\Rightarrow$ $z_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x_1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{0} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $x_2 [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{x_2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{1} [/mm] \ = \ 1$
2. Man berechnet das Integral als unbestimmtes Integral und macht am Ende die sog. "Re-Substitution", d.h. man ersetzt am Ende jedes $z$ wieder durch [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] und kann die alten x-Integrationsgrenzen verwenden.
Nun etwas klarer ?
Gruß
Loddar
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hallo!!
ja das mit den 2 regeln für die substitution kannte ich schon! aber aus der aufgabenstellung "fläche zwischen den achsen, dem funktionsbild und der gerade x=1" kann man die grenzen erkenne ja? ach so... na klar! die grenzen sind doch nun von 0 bis 1 richtig??
hab partiell integriert mit u(z)= z und [mm] v'(z)=e^z [/mm] ---> u'(z)=1 und [mm] v(z)=e^z [/mm] richtig??
jetzt hab ich es eingesetzt... integral u'*v*dx= [mm] z*e^z [/mm] - integral [mm] z*e^z*dx [/mm] (oder dz?).
is das so erstmal richtig bzw. was ist nun zu tun?? kann ich jetzt schon stammfunktion bilden und dann resubstituieren???
mfg
ps: mir ist es leider erst am donnerstag möglcih ins netz zu gehn...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo
> hallo!!
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> ja das mit den 2 regeln für die substitution kannte ich
> schon! aber aus der aufgabenstellung "fläche zwischen den
> achsen, dem funktionsbild und der gerade x=1" kann man die
> grenzen erkenne ja? ach so... na klar! die grenzen sind
> doch nun von 0 bis 1 richtig??
> hab partiell integriert mit u(z)= z und [mm]v'(z)=e^z[/mm] --->
> u'(z)=1 und [mm]v(z)=e^z[/mm] richtig??
> jetzt hab ich es eingesetzt... integral u'*v*dx= [mm]z*e^z[/mm] -
> integral [mm]z*e^z*dx[/mm] (oder dz?).
> is das so erstmal richtig bzw. was ist nun zu tun??
Nicht ganz.
Es gilt
[mm] \integral_{0}^{1} {z \cdot e^z dz} [/mm]
[mm] = \left[ z \cdot e^z \right]_0^1 - \integral_{0}^{1} {e^z dz} [/mm]
Du hast ja richtig gesehen, dass u'(z) = 1
> kann ich jetzt schon stammfunktion bilden und dann
> resubstituieren???
Kannst du, oder, wie Loddar ja schon geschrieben, die Grenzen für z einsetzen.
Gruß Sigrid
>
> mfg
>
> ps: mir ist es leider erst am donnerstag möglcih ins netz
> zu gehn...
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hallo!
also irgendwie stehe ich auf dem schlauch...
$ = [mm] \left[ z \cdot e^z \right]_0^1 [/mm] - [mm] \integral_{0}^{1} {e^z dz} [/mm] $ so die eckigen klammern sind für mich ein hinweis das der erste teil schon die stammfunktion ist (oder nicht??) mit den grenzen 0 und 1!
der zweite teil ist jedoch noch ein integral...
kann ich nun für z die grenzen 1 und 0 einsetzen? sprich F(1)-F(0)!!
ist das dann das fertige ergebnis??
mfg
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hallO!!
nun soll die fläche noch um die x-achse rotieren!!
da würde ich jetzt spontan: pi * integral [mm] (f(x))^2 [/mm] *dfx nehmen!
und als grenzen halt 1 und 0!
kommt bei mir 6,39 VE raus! ich hab einfach [mm] e^wurzel1^2 [/mm] - [mm] e^wurzel0^2 [/mm] gerechnet! weil ich nch genau wusste wie man e^wurzel x quadrieren kann?! gelten da potenzgesetzte oder wie geht das??
mfg
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Hi, declatereter,
> nun soll die fläche noch um die x-achse rotieren!!
> da würde ich jetzt spontan: pi * integral [mm](f(x))^2[/mm] *dfx
> nehmen!
Eigentlich heißt die "Formel" ja: [mm] \pi*\integral{(f(x))^{2}dx}
[/mm]
> und als grenzen halt 1 und 0!
> kommt bei mir 6,39 VE raus! ich hab einfach [mm]e^wurzel1^2[/mm] -
> [mm]e^wurzel0^2[/mm] gerechnet! weil ich nch genau wusste wie man
> e^wurzel x quadrieren kann?! gelten da potenzgesetzte oder
> wie geht das??
Ja die gelten weiter: [mm] (e^{\wurzel{x}})^{2} [/mm] = [mm] e^{2*\wurzel{x}}
[/mm]
Das wird nun (ähnlich wir bei ersten Integral) substituiert und partiell integriert.
Ich erhalte (ohne Gewähr):
[mm] \pi*\integral{e^{2*\wurzel{x}}dx} [/mm] = [mm] \pi*(\wurzel{x}*e^{2*\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*e^{2*\wurzel{x}}) [/mm] +c.
Und nun kannst Du Deine Grenzen einsetzen!
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ja natürlich ist es so richtig, wie du es geschrieben hast! aber wie geht es nun weiter... mein geschildertes problem besteht immernoch!:)
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, declatereter,
hab' den "Senden"-Knopf etwas schnell gedrückt! Meine Antwort war noch gar nicht fertig! Schau nochmal rein!
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$ [mm] \pi\cdot{}(\wurzel{x}\cdot{}e^{2\cdot{}\wurzel{x}} [/mm] $
was ist denn hier pasiert. ja klar die stammfunktion gebildet, aber warum ist dann da mitmal eine diffenrenz??
sonst ist alles klar! danke nochmal
mfg
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Hi, declatereter,
das hatten wir doch weiter oben schon geklärt, wo Dein Integral
[mm] \integral{e^{\wurzel{x}}dx} [/mm]
nach Substitution und partieller Integration zunächst
[mm] z*e^{z}-\integral{e^{z}dz} [/mm] = [mm] z*e^{z} [/mm] - [mm] e^{z} [/mm]
und (nach Rücksubstitution)
[mm] \wurzel{x}*e^{\wurzel{x}} [/mm] - [mm] e^{\wurzel{x}} [/mm]
ergab!
(Die Integrationskonstante hab' ich jetzt weggelassen, da am Ende sowieso die Grenzen 0 und 1 eingesetzt werden!)
Das ist genau dasselbe Prinzip!
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hallo!!
habe jetzt endlich zeit gehabt. dass nachzuvollziehen und hab als zwischenergebnis :
1/2*e^2z *z - integral 1/2*e^2z
also ähnlich, nur das beim ersten term bei mir noch 1/2 davor steht?!?
hab mit z=wurzelx substitutiert!
u'(z)= e^2z
u(z)= 1/2*e^2z
v(z)=z
v'(z)=1
was ist nun richtig bzw. wo könnte mein fehler sein???
mfg
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Hi, declatereter,
was richtig ist, lässt sich besser nachprüfen, wenn man die Stammfunktion ableitet.
Ich nehm' meine (und Du kannst's ja dann mit Deiner genauso machen):
F(x) = [mm] \wurzel{x}*e^{2\wurzel{x}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*e^{2\wurzel{x}} [/mm]
F'(x) = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}*e^{2\wurzel{x}} [/mm] + [mm] \wurzel{x}*e^{2\wurzel{x}}* \bruch{1}{2\wurzel{x}}*2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*e^{2\wurzel{x}}*\bruch{1}{2\wurzel{x}}*2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}*e^{2\wurzel{x}} [/mm] + [mm] e^{2\wurzel{x}} [/mm] - [mm] e^{2\wurzel{x}}*\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
= [mm] e^{2\wurzel{x}} [/mm]
Demnach ist mein Ergebnis wohl richtig!
Nachdem bei Deiner Lösung ein Problem mit den Konstanten aufgetaucht ist, das nicht aus der von Dir angegebenen partiellen Integration stammt, musst Du Dir wohl die Substitution nochmal anschauen!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:30 Mi 30.03.2005 | | Autor: | AzraHB |
hallo habe eine ähnliche Aufgabe in der Hand.
könnt ihr mir bitte den Lösungsweg für die 2 Ableitung zu kommen lassen. Komme leider nicht auf das gleiche Ergebnis wie ihr :((((
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo AzraHB!
Wie in Deiner Frage bereits geschrieben:
Bitte Deinen Lösungsweg zur Kontrolle posten! Danke.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mi 30.03.2005 | | Autor: | AzraHB |
Sorry noch eine zusätzliche Frage:
warum ist der Wendepunkt der Funtkion bei x = 1
wenn ich für x = 0 einsetzte dann erhalte ich doch -1 und nicht +1 oder habe ich einen Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo AzraHB!
> warum ist der Wendepunkt der Funtkion bei x = 1
An der Stelle [mm] $x_w [/mm] = 1$ legt eine Nullstelle der 2. Ableitung vor (notwendiges Kriterium).
> wenn ich für x = 0 einsetzte dann erhalte ich doch -1 und
> nicht +1 oder habe ich einen Denkfehler?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Wo willst Du warum jetzt für x = 0 einsetzen?
Loddar
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Hi, AzraHB,
ich vermute, Du hast meinen Ansatz
f''(x) = 0
so interpretiert, dass ich für x=0 gesetzt habe?!
Das geht gar nicht, weil x im Nenner steht und das 11. Gebot der Mathematik lautet:
"Du sollst nicht durch Null dividieren!"
Ich habe vielmehr die 2. Ableitung =0 gesetzt und aus dem Zähler:
[mm] \wurzel{x} [/mm] - 1 = 0
am Ende x=1 erhalten.
Jetzt klar?
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Kettenregel![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
