f(x) = x*e^x - glm. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise mit dem Epsilon-Delta-Kriterium, dass die Funktion f(x) = x * e^(-x) für x>=0 gleichmäßig stetig ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nunja, ich meine, der Ansatz ist ja klar, das Problem ist nachher, das Ganze so umzuformen und abzuschätzen, dass es passt. Ich habe jetzt schon den ganzen Mittag über verschiedene Versuche gestartet - immer wenn ich dachte, ich hätte es bewiesen, ist mir bei irgend einer Abschätzung dann doch noch ein Fehler aufgefallen.
Jedenfalls, der Ansatz:
Sei 0 < x < y, [mm] \delta [/mm] lässt sich denke ich, würde sich aber erst am Schluss sicher zeigen, mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] > 0 setzen, dann
[mm] |x-y|<\delta \Rightarrow |x*e^{-x}-y*e^{-y}|=...
[/mm]
Und genau da habe ich jetzt noch keine passende Umformung gefunden, die mich irgendwie ans Ziel führt, zuerst dachte ich, der Ausdruck wäre vielleicht sowieso größer Null, was aber so nicht stimmt...
Auch mit der Ungleichung [mm] e^z \geq [/mm] 1 + z für z [mm] \in \IR [/mm] habe ich einiges probiert, könnte vielleicht auch irgendwie zum Ziel führen, hat mir aber bisher nicht weitergeholfen...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 So 08.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi MathAlpha,
also ich habs jetzt so überlegt:
1. [mm] e^{-x} [/mm] ausklammern
2. [mm] $e^{x-y}\ge [/mm] 1+x-y$ , die Abschätzung hattest du ja schon selbst ins Spiel gebracht.
3. verwende [mm] x-y-yx+y^2=(x-y)(1-y)
[/mm]
4. $1-y < 1-x$, wenn $x < y$
5. [mm] e^{-x}|(1-x)|<1 [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0, dass müsstest du noch zeigen, per Funktionsuntersuchung oder so
Dann kannst du in der Tat [mm] \delta=\epsilon [/mm] wählen.
Schaffst du's so?
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Mo 09.01.2012 | | Autor: | MathAlpha |
Vielen Dank, hab's auf ähnlichem Wege gelöst jetzt :)
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