f'(x0) = lim[x->x0] f'(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $I\subset\mathbb{R}$ [/mm] ein offenes Intervall und [mm] $x_0\in [/mm] I$.
Die Funktion [mm] $f:I\to \mathbb{R}$ [/mm] sei stetig und in [mm] $I\textbackslash\{x_0\}$ [/mm] differenzierbar. Die Ableitung $f'$ von $f$ sei in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ergänzbar.
Zeigen Sie, dass dann $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar ist und dass
[mm] $$\centering f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0} [/mm] f'(x)$$ |
Guten Tag.
Um ehrlich zu sein, verstehe ich noch nicht mal ganz was ich hier machen muss (gut, ich soll zeigen [mm] f'(x_0) [/mm] =...), da ich auch durch die Aufgabenstellung nicht wirklich durchsteige...
kann mir mal eine/r bitte helfen und sagen, was zu tun ist?
Danke
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da ich gerade auf dem Sprung bin, nur einige kurze Hinweise, möglicherweise reichen die ja schon.
> Seien [mm]I\subset\mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]x_0\in I[/mm].
>
> Die Funktion [mm]f:I\to \mathbb{R}[/mm] sei stetig und in
> [mm]I\textbackslash\{x_0\}[/mm] differenzierbar. Die Ableitung [mm]f'[/mm]
> von [mm]f[/mm] sei in [mm]x_0[/mm] stetig ergänzbar.
Hier ist zu überlegen, was das bedeutet.
Es sagt uns, daß es ein b gibt mit [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f'(x)=b.
[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass dann [mm]f[/mm] in [mm]x_0[/mm] differenzierbar ist,
daß also der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.
Das könntest Du mit l'Hospital angehen.
Gruß v. Angela
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Kann mir einer bitte zeigen, wie ich hier l'Hospital anwenden soll?
Und vllt auch noch, wie man hier drauf kommt, dass man hier l'Hospital anwenden soll/kann ??
Danke
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Hallo goldeagle,
hier [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] gehen doch Zähler und Nenner beide gegen 0, also kannste l'Hospital anwenden. Dazu leite Zähler und Nenner ab:
[mm] \bruch{\left(f(x)-f(x_0)\right)'}{\left(x-x_0\right)'}=\bruch{f'(x)}{1}=f'(x)
[/mm]
Und das strebt für [mm] x\rightarrow x_0 [/mm] gegen [mm] f'(x_0)=b
[/mm]
Also zusammenfassend: [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{x\to x_0} [/mm] f'(x) - wie gewünscht
Gruß
schachuzipus
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