f stetig diff'bar < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir setzen [mm] \Omega:=\{ x=(x_1,x_2) \in \Ir^2: x_2 < \sqrt{|x_1|}, |x|<1\} [/mm] und betrachten:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} sgn(x_1)x_2^{2\beta}, & \mbox{für } x_2>0 \\ 0, & \mbox{für } x_2 \le 0\end{cases}$$
[/mm]
[mm] $\beta\in (\frac{1}{2},1)$
[/mm]
Zeige [mm] f\in C^1(\overline{\Omega}) [/mm] |
Hallo,
also ich muss zeigen, dass die Ableitung stetig ist. Bilde ich zunächst einmal die Ableitung:
[mm] $\partial /\partial x_1 [/mm] = 0$ (?), da die Signumfunktion konstant ist.
[mm] $\partial /\partial x_2$= \pm 2\beta x_2^{2\beta -1}$
[/mm]
Für [mm] x_2\le [/mm] 0 bleibts ja weiterhin Null.
Also muss ich nur prüfen ob der Übergang von [mm] x_2 [/mm] bei Null stetig ist. Sei dazu [mm] x_{2,n} [/mm] eine beliebige Nullfolge. Dann ist
[mm] 2\beta x_{2,n}^{2\beta -1} \to [/mm] 0, da der Exponent ja streng positiv ist.
Also habe ich [mm] f\in C^1 [/mm] gezeitg. Ist das so ausreichend?
Gruß Patrick
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Also was du noch theoretisch zeigen solltest ist ersteinmal die stetigkeit, weil ohne stetigkeit hilft dir auch nicht, dass die anstiege im "kritischen" punkt gleich sind. Aber das sollte nich so schwer sein.
Zur sgn-Funktion weiß ich auch nicht so recht, aber als Ableitung Null anzunehmen ist für mich auch am plausibelsten.
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Fr 04.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du arbeitest ja hier nur mit partiellen Ableitungen. sign(x) ist bei 0 nicht stetig. da musst du also was anderes machen.
sieh dir doch die Def. von differenzierbar für mehrdimensionale funktionen an.
Gruss leduart
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Hallo,
die Definition ist mir prinzipiell bekannt. Nur weiß ich nicht, wie ich das hier anwenden soll.
Die einzige kritische Stelle ist doch beim Übergang der [mm] x_2 [/mm] Koordinate bei Null, kann ich dann nicht [mm] x_1 [/mm] einfach mehr oder weniger unter den Tisch fallenlassen, also [mm] sgn(x_1)=\pm [/mm] setzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Di 08.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo,
> die Definition ist mir prinzipiell bekannt. Nur weiß ich
> nicht, wie ich das hier anwenden soll.
>
> Die einzige kritische Stelle ist doch beim Übergang der
> [mm]x_2[/mm] Koordinate bei Null, kann ich dann nicht [mm]x_1[/mm] einfach
> mehr oder weniger unter den Tisch fallenlassen, also
> [mm]sgn(x_1)=\pm[/mm] setzen?
Nein, denn die Signumfunktion ist an der Stelle 0 unstetig. Allerdings hast du noch die Bedingung [mm] $x_2<\sqrt{|x_1|}$, [/mm] sodass $f$ im Punkt $(0,0)$ stetig ist.
Betrachte also die die beiden Teilmengen des Definitionsbereichs für [mm] $x_1>0$ [/mm] bzw. [mm] $x_1<0$, [/mm] in denen du die Signumfunktion einfach durch $+1$ bzw. $-1$ ersetzen kannst. Dann überlege dir, was passiert, wenn du dich der Geraden [mm] $x_2=0$ [/mm] näherst!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 06.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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