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Forum "Uni-Analysis" - f part. diff'bar, grad=0 => f konstant
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f part. diff'bar, grad=0 => f konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:09 Sa 05.06.2004
Autor: hutch

Hallo, ich sitz schon ein paar Stunden an folgendem Beweis, komm aber überhaupt nicht weiter:

Sei M Teilm. von R(hoch)n, M offen und zusammenhängend, f:M->R sei partiell diff'bar mit grad Df(x) = 0 mit x Element von M.
Beweise: Dann ist f konstant auf M.

Ich würde mich sehr über Tipps und Ideen für einen Ansatz freuen.

Viele Grüße, Hutch

        
Bezug
f part. diff'bar, grad=0 => f konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:14 Sa 05.06.2004
Autor: Stefan

Hallo Hutch!

Die Aufgabe lässt sich mit der Kettenregel lösen.

Es seien $x,y [mm] \in [/mm] M$ beliebig gewählt. Zu zeigen ist: $f(x)=f(y)$,

Da $M$ offen und zusammenhängend (und damit wegzusammenhängend) ist, gibt es einen differenzierbaren Weg [mm] $\gamma:[0,1] \to [/mm] M$ mit

[mm] $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$. [/mm]

Dann gilt:

[mm]f(y) - f(x) = f(\gamma(1)) -f(\gamma(0)) = \int_0^1 \frac{d}{dt} [f(\gamma(t))] \, dt[/mm]

Den letzten Schritt (Kettenregel anwenden) kriegst du selber hin, denke ich. :-)

Wenn nicht, oder wenn du sonst noch Fragen hast, dann melde dich bitte wieder.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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