f^(n)_((0) --- gerade/ungerade < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mo 17.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | f: [mm] \IR-->\IR [/mm] mit [mm] f_(x)=exp(x^2)
[/mm]
a) gib Taylorentwicklung im Entwicklungspunkt 0 an.
b) Bestimme mit Hilfe von a) f^(n)(0) für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo!
Die a) ist ja in wenigen Zeilen gelöst.
Unter Benutzung der Reihendarstellung der e-Fkt. folgt:
[mm] f_(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}
[/mm]
konvergent auf ganz [mm] \IR, [/mm] da e-Fkt. auf ganz [mm] \IR [/mm] konvergent. Taylorentwicklung im E.p. [mm] x_0=0 [/mm] entstpricht der Protenzreihe im selben E.p.
[mm] -->T_{f}(x)=f_(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}
[/mm]
Nun geht es um die b). Hier bin ich böse auf die Schnauze gefallen, da argumentiert hatte, dass die Ableitung der e-Fkt wieder die e-Fkt sei und dahier für bel. Ableitungen f^(n)(0) [mm] =e^{0^2} [/mm] = 1 gelte.
1. Wieso stimmt das nicht?
/bzw.
2. Ich verstehe folgende gegebene Lösung nicht. Was mit gerade und ungerade bezeichnet wird und wie dadurch verschiedene Werte für die Ableitungen zustandekommen ist mir völlig unklar :(
Lösung:
Gemäß a) gilt [mm] f(x)=\summe^{\infty}_{0} c_n x^n [/mm] mit [mm] c_n [/mm] =
[mm] \hspace{1cm} \bruch{1}{k!}=\bruch{1}{\bruch{n}{2}},für [/mm] n =2k gerade,
[mm] \hspace{1cm}0 [/mm] für n =2k+1
gegeben. Somit gilt
[mm] f^{(n)}_{(0)}=n!c_n=
[/mm]
[mm] \bruch{n!}{\bruch{n}{2}!}, [/mm] gür n gerade
0, für n ungerade.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR-->\IR[/mm] mit [mm]f_(x)=exp(x^2)[/mm]
> a) gib Taylorentwicklung im Entwicklungspunkt 0 an.
> b) Bestimme mit Hilfe von a) f^(n)(0) für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Hallo!
> Die a) ist ja in wenigen Zeilen gelöst.
> Unter Benutzung der Reihendarstellung der e-Fkt. folgt:
> [mm]f_(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}[/mm]
> konvergent auf ganz [mm]\IR,[/mm] da e-Fkt. auf ganz [mm]\IR[/mm]
> konvergent. Taylorentwicklung im E.p. [mm]x_0=0[/mm] entstpricht der
> Protenzreihe im selben E.p.
> [mm]-->T_{f}(x)=f_(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}[/mm]
Das ist O.K.
>
> Nun geht es um die b). Hier bin ich böse auf die Schnauze
> gefallen, da argumentiert hatte, dass die Ableitung der
> e-Fkt wieder die e-Fkt sei und dahier für bel. Ableitungen
> f^(n)(0) [mm]=e^{0^2}[/mm] = 1 gelte.
>
> 1. Wieso stimmt das nicht?
Nach der Kettenregel ist z.B. [mm] f'(x)=2x*e^{x^2}, [/mm] also f'(0)=0.
> /bzw.
> 2. Ich verstehe folgende gegebene Lösung nicht. Was mit
> gerade und ungerade bezeichnet wird und wie dadurch
> verschiedene Werte für die Ableitungen zustandekommen ist
> mir völlig unklar :(
> Lösung:
> Gemäß a) gilt [mm]f(x)=\summe^{\infty}_{0} c_n x^n[/mm] mit [mm]c_n[/mm]
> =
> [mm]\hspace{1cm} \bruch{1}{k!}=\bruch{1}{\bruch{n}{2}},für[/mm] n
> =2k gerade,
> [mm]\hspace{1cm}0[/mm] für n =2k+1
> gegeben. Somit gilt
> [mm]f^{(n)}_{(0)}=n!c_n=[/mm]
> [mm]\bruch{n!}{\bruch{n}{2}!},[/mm] gür n gerade
> 0, für n ungerade.
Also... fangen wir von vorne an:
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0. Sei I:=(-R,R) mit der Vereinbarung [mm] I=\IR [/mm] , falls R = [mm] \infty.
[/mm]
Dann wird auf I eine beliebig oft differenzierbare Funktion f:I [mm] \to \IR [/mm] def. durch
f(x):= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n.
[/mm]
Nun hast Du gelernt, dass gilt
[mm] f^{(n)}(0)=n!*a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0.
[/mm]
Zurück zu
[mm] $f(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!} [/mm] $.
Hier ist [mm] a_{2n-1}=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]
und
[mm] a_{2n}=\bruch{1}{n!} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0.
[/mm]
Damit haben wir
[mm] f^{(2n-1)}(0)=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]
und
[mm] f^{(2n)}(0)=\bruch{(2n)!}{n!} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 17.11.2014 | | Autor: | SoWhat |
> Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n[/mm] eine Potenzreihe mit
> Konvergenzradius R>0. Sei I:=(-R,R) mit der Vereinbarung
> [mm]I=\IR[/mm] , falls R = [mm]\infty.[/mm]
>
> Dann wird auf I eine beliebig oft differenzierbare Funktion
> f:I [mm]\to \IR[/mm] def. durch
>
> f(x):= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n.[/mm]
>
> Nun hast Du gelernt, dass gilt
>
> [mm]f^{(n)}(0)=n!*a_n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0.[/mm]
[mm] \color{red}{Jup ~:)}
[/mm]
> Zurück zu
>
>
> [mm]f(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!} [/mm].
[mm] \color{red}{Dieser~Schritt~wird~ mir ~gerade~nicht~klar!}
[/mm]
Mein [mm] a_n [/mm] ist doch [mm] a_n=\bruch{1}{n!}, [/mm] oder?
also [mm] f^{n}_{0}=\bruch{1}{n!}a_n=\bruch{1}{n!^2}
[/mm]
Meine Frage lautet also Konkrekt:
1. Was motiviert die Fallunterscheidung
2. Woraus resultieren die Ergebnisse der betrachteten Fälle.
> Hier ist [mm]a_{2n-1}=0[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> und
>
> [mm]a_{2n}=\bruch{1}{n!}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0.[/mm]
>
> Damit haben wir
>
> [mm]f^{(2n-1)}(0)=0[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> und
>
> [mm]f^{(2n)}(0)=\bruch{(2n)!}{n!}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n[/mm] eine Potenzreihe mit
> > Konvergenzradius R>0. Sei I:=(-R,R) mit der Vereinbarung
> > [mm]I=\IR[/mm] , falls R = [mm]\infty.[/mm]
> >
> > Dann wird auf I eine beliebig oft differenzierbare Funktion
> > f:I [mm]\to \IR[/mm] def. durch
> >
> > f(x):= [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n.[/mm]
> >
> > Nun hast Du gelernt, dass gilt
> >
> > [mm]f^{(n)}(0)=n!*a_n[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0.[/mm]
>
> [mm]\color{red}{Jup ~:)}[/mm]
> > Zurück zu
> >
> >
> > [mm]f(x)=\summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!} [/mm].
>
> [mm]\color{red}{Dieser~Schritt~wird~ mir ~gerade~nicht~klar!}[/mm]
>
> Mein [mm]a_n[/mm] ist doch [mm]a_n=\bruch{1}{n!},[/mm] oder?
1. Das [mm] a_n [/mm] gehört nicht Dir !
2. Schreiben wir [mm] \summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!} [/mm] mal aus:
[mm] \summe_{0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}=1+\bruch{x^2}{1!}+\bruch{x^4}{2!}+\bruch{x^6}{3!}+....
[/mm]
Was ist der Koeffizient vor x ? Bingo ! er ist =0.
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^3 [/mm] ? Bingo ! er ist =0.
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^5 [/mm] ? Bingo ! er ist =0.
etc......
Also ist [mm] a_n=0, [/mm] falls n ungerade.
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^0 [/mm] ? Bingo ! er ist =1.
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^2 [/mm] ? Bingo ! er ist =1.
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^4 [/mm] ? Bingo ! er ist [mm] =\bruch{1}{2!}.
[/mm]
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^6 [/mm] ? Bingo ! er ist [mm] =\bruch{1}{3!}.
[/mm]
....
Was ist der Koeffizient vor [mm] x^{2n} [/mm] ? Bingo ! er ist [mm] =\bruch{1}{n!}.
[/mm]
Es ist also [mm] a_{2n}=\bruch{1}{n!}.
[/mm]
FRED
> also [mm]f^{n}_{0}=\bruch{1}{n!}a_n=\bruch{1}{n!^2}[/mm]
> Meine Frage lautet also Konkrekt:
> 1. Was motiviert die Fallunterscheidung
> 2. Woraus resultieren die Ergebnisse der betrachteten
> Fälle.
> > Hier ist [mm]a_{2n-1}=0[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]a_{2n}=\bruch{1}{n!}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0.[/mm]
> >
> > Damit haben wir
> >
> > [mm]f^{(2n-1)}(0)=0[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]f^{(2n)}(0)=\bruch{(2n)!}{n!}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm]
>
>
|
|
|
|
