f monoton wachsend < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Di 16.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
| Aufgabe | | Man zeige: Ist f monoton wachsend, so gilt f'(a)[mm]\ge[/mm]0 für alle aI^° |
Folgende Hinweise sind in der Aufgabenstellung noch gegeben:
(1) Man zeige zunächst, dass delta a f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle xI \ {a} und man wende dann Lemma 1 an:
Sei h:I->R eine Abbildung, die an der Stelle aI stetig ist. Ist h(x)[mm]\ge[/mm]0 für alle xI \ {a}, so ist h(a)[mm]\ge[/mm]0
Kann mir jemand eine Lösung geben oder zumindest einen Lösungsansatz?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Man zeige: Ist f monoton wachsend, so gilt f'(a)[mm]\ge[/mm]0 für
> alle aI^°
Dazu muss [mm] $f:\overset{\circ}{I}\rightarrow\IR$ [/mm] insbesondere differenzierbar in [mm] $\overset{\circ}{I}$ [/mm] sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 16.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
> > Man zeige: Ist f monoton wachsend, so gilt f'(a)[mm]\ge[/mm]0 für
> > alle aI^°
>
> Dazu muss [mm]f:\overset{\circ}{I}\rightarrow\IR[/mm] insbesondere
> differenzierbar in [mm]\overset{\circ}{I}[/mm] sein.
Ja, das ist Vorraussetzung. Aber wie zeige ich das jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Di 16.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm] $a\in [/mm] I$ ein innerer Punkt. Dann gibt es [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $\IB_\varepsilon(a)\subset [/mm] I$ Da f monoton wachsend ist, ist [mm] $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $h\in \IB_\varepsilon(a)$, [/mm] also muss auch der Grenzwert [mm] $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\ge [/mm] 0$ sein.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 16.06.2009 | | Autor: | Sebescen |
> Dann gibt es [mm]\varepsilon>0[/mm] mit [mm]\IB_\varepsilon(a)\subset I[/mm]
Kannst du erklären warum dass gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 16.06.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo!
> > Dann gibt es [mm]\varepsilon>0[/mm] mit [mm]\IB_\varepsilon(a)\subset I[/mm]
>
> Kannst du erklären warum dass gilt?
Na leider hast du nicht alles kopiert, und zwar ist der wesentliche Kernpunkt
> Sei $ [mm] a\in [/mm] I $ ein innerer Punkt
(siehe Pelzigs Antwort).
Damit ist die Menge offen, und um den Punkt aus einer offenen Menge kannst du eine Kugel legen.
MfG
Disap
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