extremwerte mit nebenbedingung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Do 07.04.2005 | | Autor: | beni |
Hallo,
ich hab da ein paar fragen zu einem bespiel, bei dem ich mich nicht so recht auskenne:
gegeben ist ein ellipsoid:
[mm] \bruch{x^{2}}{4}+\bruch{y^{2}}{9}+(z-1)^{2}=1
[/mm]
und ein kreis
[mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
gesucht werden die extremstellen des ellipsoids auf dem kreis, und zwar
a) mittels taylorpolynom bis inkl Grad 2 -> näherungslsg
b) grad z bestimmen für z [mm] \le1 [/mm] -> extremstellen bestimmen.
a) für das taylorpolynom erhalte ich
[mm] 2+\bruch{x^{2}}{8}+\bruch{y^{2}}{18}
[/mm]
dh nach lagrange erhalte ich folgendes gleichungssystem:
[mm] -\bruch{x}{4}+2x\lambda=0
[/mm]
[mm] -\bruch{y}{9}+2y\lambda=0
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
stimmt es dass dann alle extremwerte dann unter den trivialen lösungen
[mm] (\pm1,0) [/mm] und [mm] (0,\pm1) [/mm] vorkommen?
wie kann man jetzt nachweisen, das das tatsächlich extermwerte sind?
b)recht wenig ahnung...
grad z hat ja was mit den lagrangen multiplikatoren zu tun; aber für den kreis müsste der gradient (0,0) ergeben, da der gradient die maximale steigung im funtionsgebirge anzeigt.
wie gehts jetzt weiter?
vielen dank
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Hallo,
für Extrema mit Nebenbedingungen gelten folgende Bedingungsgleichungen:
[mm]
\begin{gathered}
(1)\;\varphi \left( {x,\;y} \right)\; = \;0 \hfill \\
(2)\;\frac{\delta }
{{\delta x}}\;\left[ {f\left( {x,\;y} \right)\; + \;\lambda \;\varphi \left( {x,\;y} \right)} \right]\; = \;0 \hfill \\
(3)\;\frac{\delta }
{{\delta y}}\;\left[ {f\left( {x,\;y} \right)\; + \;\lambda \;\varphi \left( {x,\;y} \right)} \right]\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Wobei Gleichung (1) der Nebenbedingung entspricht.
Aus diesen Gleichungen bestimmen sich die drei Variablen x,y und [mm]\lambda[/mm].
> stimmt es dass dann alle extremwerte dann unter den
> trivialen lösungen
> [mm](\pm1,0)[/mm] und [mm](0,\pm1)[/mm] vorkommen?
>
Das habe ich auch herausbekommen.
> wie kann man jetzt nachweisen, das das tatsächlich
> extermwerte sind?
Nun kann man über die Art des Extremums entscheiden:
[mm]\[
\Delta \; = \;\frac{{\delta ^{2} \left( {f\; + \;\lambda \;\varphi } \right)}}
{{\delta x^{2} }}\;\left[ {\frac{{\delta \varphi }}
{{\delta y}}} \right]^{2} \; - \;2\;\frac{{\partial ^{2} \left( {f\; + \;\lambda \;\varphi } \right)}}
{{\partial x\;\partial y}}\;\frac{{\delta \varphi }}
{{\delta x}}\;\frac{{\delta \varphi }}
{{\delta y}}\; + \;\frac{{\delta ^{2} \left( {f\; + \;\lambda \;\varphi } \right)}}
{{\delta y^2 }}\;\left[ {\frac{{\delta \varphi }}
{{\delta x}}} \right]^{2} [/mm]
Für [mm]\Delta \; > \;0[/mm] ergibt sich ein Minimum.
Für [mm]\Delta \; < \;0[/mm] ergibt sich ein Maximum.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 08.04.2005 | | Autor: | beni |
idee zu b)
kann man das dann nicht "ganz normal" ausrechnen oder folgere ich da falsch schluss?
danke für a), mathepower
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Hallo,
da liegst Du vollkommen richtig.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Fr 08.04.2005 | | Autor: | beni |
dann isses ja eh ganz einfach
danke!!
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