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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 So 29.05.2005 | | Autor: | thary |
hallo erstmal und wunderschönen sonntag morgn!
ich sitze mal wieder hie rund habe ei problem, aber überhaupt keine einzige idee, was ich machen kann..
und zwar habe ich folgende aufgabe:
ein Mann steht in der wüste 2km senkrecht im sand von einer strasse entfernt,die zu einer oase führt.wenn er auf der strasse angelangt ist,dann muss er auf ihr noch 4km laufen,damit er die oase erreicht.Im sand läuft er 2km/h und auf der strasse 4km/h.
wie ist der schnellste weg?
also, ich muss nun ausrechnen, wie er am schnellsten zu der oase kommt.ich weiss aber nicht, wie ich anfangen kann..
könnt ihr mir einen tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 So 29.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> hallo erstmal und wunderschönen sonntag morgn!
> ich sitze mal wieder hie rund habe ei problem, aber
> überhaupt keine einzige idee, was ich machen kann..
> und zwar habe ich folgende aufgabe:
>
> ein Mann steht in der wüste 2km senkrecht im sand von einer
> strasse entfernt,die zu einer oase führt.wenn er auf der
> strasse angelangt ist,dann muss er auf ihr noch 4km
> laufen,damit er die oase erreicht.Im sand läuft er 2km/h
> und auf der strasse 4km/h.
> wie ist der schnellste weg?
>
> also, ich muss nun ausrechnen, wie er am schnellsten zu der
> oase kommt.ich weiss aber nicht, wie ich anfangen kann..
> könnt ihr mir einen tipp geben?
Hallo Thary,
am besten machen wir zuerst eine Skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt sollten wir uns vielleicht mal überlegen, wie lang der längste
vernünftige Weg ist. Diesen beschreiten wir, wenn wir zunächst auf
direktem Weg die Straße ansteuern und dann auf der Straße zum
Brunnen gehen. Das wären $2km$ zur Straße plus $4km$ auf der
Straße, macht $6km$. Außerdem können wir sofort die dafür benötigte
Zeit berechnen, sie beträgt $2h$.
Nun der kürzeste Weg, wir gehen sofort zum Brunnen. Wir bewegen uns
auf der Hyptenuse des Dreiecks mit Katheten von $2km$ und $4km$, nach
dem Satz des Pythagoras folgt: [mm] $Weg=\sqrt {4km^2+16km^2}=\sqrt{20} [/mm] km$.
Auch hier können wir die benötigte Zeit bestimmen, indem wir die Strecke durch die
Geschwindigkeit teilen, wir sind die ganze Zeit auf dem Sand.
Wir können auch schon die benötigte Zeit für einen Sand bzw. Straßenkilometer
berechnen. Im Sand brauchen wir $0,5h/km$ und auf der Straße $0,25h/km$.
Wenn du das Dreieck betrachtest, wird die nochmals deutlich, dass die Person in
jedem Fall $2km$ in der Vertikalen und $4km$ in der Horizontalen zurücklegen
muss. Versuche am besten einmal mit Hilfe der Gesetze der rechtwinkligen Dreiecke
daraus Gleichungen aufzubauen.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hi, thary,
Der Mann muss ja nicht unbedingt senkrecht 2km zur Straße hin und anschließend 4km auf der Straße laufen oder aber auf direktem Weg durch den Sand zur Oase.
Er kann ja auch schräg auf die Straße zulaufen, sagen wir zu einem Punkt C auf der Straße, und von dort zum Ziel.
Ich teile die Straße daher in 2 Teile. Den Teil links von C nenne ich x; dann ist der rechte Teil: 4-x.
Wegen der Geschwindigkeit von 4 km/h benötigt der Mann für den letzten Teil des Wegs:
[mm] t_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4-x}{4} [/mm] Stunden.
Der erste Teil des Wegs, also [mm] \overline{AC}, [/mm] ergibt sich - wie Fugre gesagt hat - mit Pythagoras:
[mm] \overline{AC} [/mm] = [mm] \wurzel{x^{2}+4}. [/mm]
Wegen der Geschwindigkeit von 2 km/h benötigt der Mann für diesen Teil des Wegs:
[mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+4}}{2} [/mm] Stunden.
Nun soll also die insgesamt benötigte Zeit t = [mm] t_{1}+t_{2} [/mm] minimal sein!
Das bedeutet, dass Du ein Minimum für die Funktion
t(x) = [mm] \bruch{\wurzel{x^{2}+4}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4-x}{4}
[/mm]
suchst.
Dazu musst Du die Funktion ableiten und die Ableitung =0 setzen.
Nun meine Frage: Kannst Du denn schon Wurzelterme ableiten?
PS: Mein Ergebnis (ohne Gewähr!): x [mm] \approx [/mm] 1,155.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 29.05.2005 | | Autor: | thary |
hey,
also erstmal danke..hab jetzt verstanden, was ich machen muss.
ja, eigentlich kann ich schon wurzelterme ableiten..
nämlich, in dem ich die äußere funktion ableite und mal der inner funktion nehme, oder?
also
f'(x)=g'(x)*h'(x)
hm.. das habe ich nun gemacht.. und dann habe ich
t'(x)=-0,25+((0,5x)/ [mm] \wurzel{x²+4})
[/mm]
aber wenn ich das nun =0 setze, dann kommt für x=0 raus..
was is da falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 So 29.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> hey,
> also erstmal danke..hab jetzt verstanden, was ich machen
> muss.
> ja, eigentlich kann ich schon wurzelterme ableiten..
> nämlich, in dem ich die äußere funktion ableite und mal
> der inner funktion nehme, oder?
> also
> f'(x)=g'(x)*h'(x)
>
> hm.. das habe ich nun gemacht.. und dann habe ich
>
> t'(x)=-0,25+((0,5x)/ [mm]\wurzel{x²+4})[/mm]
>
> aber wenn ich das nun =0 setze, dann kommt für x=0 raus..
> was is da falsch?
Hallo Thary,
die Ableitung ist falsch, du musst die ![[]](/images/popup.gif) Kettenregel anwenden
und die lautet anders.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 29.05.2005 | | Autor: | thary |
die ableitung von [mm] \wurzel{x²+4}
[/mm]
wäre dann 0,25x/ [mm] \wurzel{x²+4}
[/mm]
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thary!
Siehe andere Antwort !!
Deine erste Variante der Ableitung war bereits richtig!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 So 29.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thary!
Ich widerspreche ja Fugre nur äußerst ungern, aber Deine Ableitung $t'(x)$ ist richtig, nur etwas ungewöhnlich geschrieben!
$t'(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{2*\wurzel{x^2+4}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}$
[/mm]
Allerdings ist Dir bei der Berechnung der Nullstelle dieser Ableitung ein Fehler unterlaufen.
$x \ = \ 0$ ist keine Nullstelle der 1. Ableitung!
$t'(0) \ = \ [mm] \bruch{0}{2*\wurzel{0^2+4}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}\ [/mm] = \ 0 - [mm] \bruch{1}{4}\ [/mm] = \ - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
Hier erhalte ich (wie Zwerglein): [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1,155$
Bitte beachte auch, daß die Darstellung Deiner  Kettenregel nicht richtig formuliert ist.
Gruß
Loddar
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