Forum "Schul-Analysis" - exponentialgleichung - Vorkurse

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Forum "Schul-Analysis" - exponentialgleichung

exponentialgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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exponentialgleichung: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	09:55 Mi 30.03.2005
Autor:	antje1986

Hallo! keine Ahnung, ob ich in diesem Forum richtig bin (ich bin neu hier) aber ich veruchs mal... kann mir jemand sagen, wie ich so eine gleichung nach x auflöse:

8^(7x+9) = 2^(3x+6)
Mir geht es nicht unbedingt um die lösung sondern vielmehr um den weg, da diese aufgabe in beispielaufgaben für einen hochschul-aufnahmetest steht, an dem ich montag teilnehme...
also danke im voraus für jede hilfe!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Bezug

exponentialgleichung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	10:10 Mi 30.03.2005
Autor:	Julius

Hallo Antje!

Wir haben also die Gleichung

[mm] $8^{7x+9} =2^{3x+6}$. [/mm]

Wenn wir die beiden Exponenten vergleichen wollen, sollten die beiden Basen gleich sein!

Wie kann ich nun $8$ und $2$ miteinander (über Potenzen) in Verbindung bringen?

Nun ja, es gilt ja: [mm] $8=2^3$. [/mm]

Daher ist zu lösen:

[mm] $8^{7x+9} [/mm] = [mm] \left(2^3\right)^{7x+9} \stackrel{(!)}{=} 2^{3x+6}$. [/mm]

Und jetzt folgt mit Hilfe der

Potenzgesetze:

[mm] $8^{7x+9} [/mm] = [mm] \left(2^3\right)^{7x+9} [/mm] = [mm] 2^{3 \cdot (7x+9)} [/mm] = [mm] 2^{21x + 27}$. [/mm]

Damit haben wir die Gleichung

[mm] $2^{21x+27} [/mm] = [mm] 2^{3x+6}$. [/mm]

Jetzt sind die beiden Basen gleich und wir können die beiden Exponenten vergleichen. Diese müssen dann ebenfalls gleich sein!

Die obige Gleichung ist also zu der folgenden äquivalent:

$21x + 27 = 3x+6$.

Dies führt zu:

$18x = -21$,

also:

$x= - [mm] \frac{7}{6}$. [/mm]

Machen wir doch mal die Probe:

[mm] $8^{7 \cdot \left( - \frac{7}{6} \right)+9} [/mm] = [mm] 8^{- \frac{49}{6} + 9} [/mm] = [mm] 8^{\frac{5}{6}} [/mm] = [mm] 2^{\frac{5}{2}}$ [/mm]

und

[mm] $2^{3 \cdot \left(- \frac{7}{6} \right)+6} [/mm] = [mm] 2^{-\frac{7}{2} + 6} [/mm] = [mm] 2^{\frac{5}{2}}$ [/mm]