exponentialfunktion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 28.11.2016 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Sei V der [mm] \IR-VR [/mm] der Polynome [mm] f(t)\in \IR[/mm] [t] vom Grad [mm] \le [/mm] n-1 und [mm] D:V\to [/mm] V die Ableitung,d.h. D(f(t)):=f'(t) für f(t) [mm] \in [/mm] V. Weiter bezeichne S den Endomorphismus von V mit S(f(t)):=f(t+1) für f(t) [mm] \in [/mm] V. Zeige, dass S=exp(D) gilt. |
Guten Abend,
ich habe so angefangen dass ich ein bel. Polynom definiert habe
[mm] f(t):=t^m [/mm] , [mm] m\in\{0,...,n-1\}
[/mm]
Dann habe ich in S eingestzt:
[mm] S(f(t))=S(t^m)=(t+1)^m\overbrace{=}^{Binom. Lehrsatz}=\summe_{k=0}^m\vektor{m\\ k}t^k1^{m-k}=\summe_{k=0}^m\vektor{m \\ k}t^k
[/mm]
und [mm] D(f(t))=D(t^m)=m(t+1)^{m-1}
[/mm]
Also [mm] exp(D)=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{D^j}{j!}=1+D+\bruch{D^2}{2!}+\bruch{D^3}{3!}+...=
[/mm]
Also [mm] exp(D)=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{D^j}{j!}=1+
[/mm]
[mm] (m(t+1)^{m-1})+\bruch{(m(t+1)^{m-1})^2}{2!}+\bruch{(m(t+1)^{m-1})^3}{3!}+...
[/mm]
Wie zeige ich dass die beiden gleichungen gleich sind? dankeschön im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mo 28.11.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein [mm] f(t)=t^m
[/mm]
dann ist doch die Zeile mit
$ [mm] D(f(t))=D(t^m)=m(t+1)^{m-1} [/mm] $
falsch!
[mm] D^k=m*(m-1)...*(m-k+1)*t^{m-k}
[/mm]
setz das in deine Exp(D) ein und vergleiche mit S(f(t))
Gruß ledum
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 28.11.2016 | | Autor: | mimo1 |
Hallo Leduard,
stimmt, für [mm] D(f(t))=mt^{m-1} [/mm] kommt das heraus.
aber meine frage ist warum wählst Du die k-te Ableitung von f(t)?
wenn ich D in die Reihendrastellung von exp einsetze bekomme ich folgendes heraus:
[mm] exp(D)=1+mt^{m-1}+\bruch{(mt^{m-1})^2}{2!}+\bruch{(mt^{m-1})^3}{3!}+...
[/mm]
Dieses "Polynom" ist doch vom Grad viel grösser, oder?
Ich sehe leider keine Gleichheit bzw. habe etwas falsch gemaht?
|
|
|
| |
|
> Hallo Leduard,
>
> stimmt, für [mm]D(f(t))=mt^{m-1}[/mm] kommt das heraus.
>
> aber meine frage ist warum wählst Du die k-te Ableitung
> von f(t)?
>
> wenn ich D in die Reihendrastellung von exp einsetze
> bekomme ich folgendes heraus:
Hallo,
Du willst zeigen, daß S=exp(D).
Dazu kannst Du zeigen, daß die Funktionen auf einer Basis von V übereinstimmen - was Du ja auch vorhast.
Du möchtest also vorrechnen, daß für [mm] t^m [/mm] mit [mm] m\in\{0,1,...,n-1\} [/mm] gilt:
[mm] S(t^m)=(exp(D))(t^m)
[/mm]
Mit dem Ausdruck [mm] (exp(D))(t^m) [/mm] müssen wir uns beschäftigen.
[mm] (exp(D))(t^m)=\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{D^j(t^m)}{j!}.
[/mm]
Was bedeutet nun [mm] D^j(t^m)?
[/mm]
Dies: [mm] (\underbrace{D\circ D\circ ...\circ D}_{j-mal})(t^m),
[/mm]
also die j-te Ableitung von [mm] t^m!
[/mm]
LG Angela
>
> [mm]exp(D)=1+mt^{m-1}+\bruch{(mt^{m-1})^2}{2!}+\bruch{(mt^{m-1})^3}{3!}+...[/mm]
>
> Dieses "Polynom" ist doch vom Grad viel grösser, oder?
>
> Ich sehe leider keine Gleichheit bzw. habe etwas falsch
> gemaht?
|
|
|
|
