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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mi 17.07.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | | Wie kann man zeigen, dass [mm] $\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}=\exp(\mathbb{C})$? [/mm] |
Hallo,
[mm] "$\subseteq$:
[/mm]
Sei [mm] $z\in\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}$. [/mm] Dann ist doch [mm] $z=\exp(\omega)$ [/mm] für [mm] $\omega=\log(z)$, [/mm] wobei das definiert ist, da [mm] $z\neq [/mm] 0$. Und ebenso für [mm] $\omega+2k\pi i,k\in\mathbb{Z}$, [/mm] denn der komplexe Logarithmus ist ja nicht eindeutig.
Aber jedenfalls hat man doch eine (sogar abzählbar viele) komplexe Zahlen gefunden, die in [mm] $\exp(\mathbb{C})$ [/mm] liegt und mit der $z$ identisch ist, also [mm] $z\in\exp(\mathbb{C})$.
[/mm]
Stimmt das so - und wie kann man die andere Inklusion zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wie kann man zeigen, dass
> [mm]\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}=\exp(\mathbb{C})[/mm]?
> Hallo,
>
> "[mm]\subseteq[/mm]:
>
> Sei [mm]z\in\mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}[/mm]. Dann ist doch
> [mm]z=\exp(\omega)[/mm] für [mm]\omega=\log(z)[/mm], wobei das definiert
> ist, da [mm]z\neq 0[/mm]. Und ebenso für [mm]\omega+2k\pi i,k\in\mathbb{Z}[/mm],
> denn der komplexe Logarithmus ist ja nicht eindeutig.
> Aber jedenfalls hat man doch eine (sogar abzählbar viele)
> komplexe Zahlen gefunden, die in [mm]\exp(\mathbb{C})[/mm] liegt und
> mit der [mm]z[/mm] identisch ist, also [mm]z\in\exp(\mathbb{C})[/mm].
>
>
> Stimmt das so
Ja
> - und wie kann man die andere Inklusion
> zeigen?
Die folgt doch aus [mm] e^z \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 17.07.2013 | | Autor: | mikexx |
Dankeschön!
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