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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - exakte sequenz von VR
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exakte sequenz von VR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:10 Fr 23.04.2010
Autor: valoo

Aufgabe
Sei [mm] \{0\} \to V_{1} \to [/mm] ... [mm] \to V_{n} \mapsto \{0\} [/mm] eine exakte Sequenz von Vektorräumen endlicher Dimension.
Zeige:

[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})=0 [/mm]

[mm] \varphi_{i}: V_{i} \to V_{i+1} [/mm]
Nach dem Dimensionssatz:
[mm] dim(V_{i})=dim(im(\varphi_{i}))+dim(ker(\varphi_{i})) [/mm] (DS)
Nach Exaktheit:
[mm] im(\varphi_{i-1})=ker(\varphi_{i}) [/mm] (EX)

Gilt aber folgendes???:
[mm] dim(im(\varphi_{n})=0 [/mm] da [mm] \varphi: V_{n} \mapsto \{0\} [/mm] (*)
und [mm] dim(ker(\varphi_{1})=0, [/mm] da [mm] \varphi_{1} [/mm] injektiv??? (**)
das bild von [mm] \{0\} [/mm] ist der kern von [mm] \varphi_{1} [/mm] ???

Ich zeige dann für m beliebig:

[mm] \summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m}) [/mm]

IA: Sei m=1
[mm] \summe_{i=1}^{1}(-1)^{i}*dim(V_{i}) [/mm]
[mm] =-dim(V_{i}) [/mm]
[mm] =-dim(ker(\varphi_{1}))-dim(im(\varphi_{1})) [/mm] wegen (DS)
[mm] =-dim(im(\varphi_{1})) [/mm] wegen (**)
[mm] =(-1)^{1}*dim(im(\varphi_{1})) [/mm]

IS: m [mm] \to [/mm] m+1

[mm] \summe_{i=1}^{m+1}(-1)^{i}*dim(V_{i}) [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})+(-1)^{m+1}*dim(V_{m+1}) [/mm]
[mm] =(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m}))+(-1)^{m+1}*(dim(im(\varphi_{m+1}))+dim(ker(\varphi_{m+1}))) [/mm] wegen IV und (DS)
[mm] =(-1)^m*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1})) [/mm] wegen (EX)
[mm] =(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1})) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Formel gilt für alle m

Sei also m=n

[mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i}) [/mm]
[mm] =(-1)^{n}*dim(im(\varphi_{n})) [/mm]
=0 wegen (*)

Ich hoffe, dass das nicht komplett falsch ist...
Aber vor allem bei (*) und (**) hab ich Bedenken...

        
Bezug
exakte sequenz von VR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:11 Fr 23.04.2010
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]\{0\} \to V_{1} \to[/mm] ... [mm]\to V_{n} \mapsto \{0\}[/mm] eine
> exakte Sequenz von Vektorräumen endlicher Dimension.
>  Zeige:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})=0[/mm]
>  
> [mm]\varphi_{i}: V_{i} \to V_{i+1}[/mm]
>  Nach dem Dimensionssatz:
> [mm]dim(V_{i})=dim(im(\varphi_{i}))+dim(ker(\varphi_{i}))[/mm] (DS)
>  Nach Exaktheit:
>  [mm]im(\varphi_{i-1})=ker(\varphi_{i})[/mm] (EX)
>  
> Gilt aber folgendes???:
>  [mm]dim(im(\varphi_{n})=0[/mm] da [mm]\varphi: V_{n} \mapsto \{0\}[/mm] (*)

Hallo,

ja, das gilt aus dem angegebenen Grund.

>  und [mm]dim(ker(\varphi_{1})=0 Ja, weil \varphi_0 die Nullabbildung ist, also bild(\vaprphi_0)=\{0\}. > [/mm] da [mm]\varphi_{1}[/mm] injektiv???

Nicht "da", sondern "deshalb" ist [mm] \varphi_1 [/mm] injektiv.

> (**)
>  das bild von [mm]\{0\}[/mm] ist der kern von [mm]\varphi_{1}[/mm] ???
>  
> Ich zeige dann für m beliebig:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m})[/mm]
>  
> IA: Sei m=1
>  [mm]\summe_{i=1}^{1}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
>  [mm]=-dim(V_{i})[/mm]
>  [mm]=-dim(ker(\varphi_{1}))\red{+}dim(im(\varphi_{1}))[/mm] wegen (DS)
>  [mm]=-dim(im(\varphi_{1}))[/mm] wegen (**)
>  [mm]=(-1)^{1}*dim(im(\varphi_{1}))[/mm]
>  
> IS: m [mm]\to[/mm] m+1
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{m+1}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{i=1}^{m}(-1)^{i}*dim(V_{i})+(-1)^{m+1}*dim(V_{m+1})[/mm]
>  
> [mm]=(-1)^{m}*dim(im(\varphi_{m}))+(-1)^{m+1}*(dim(im(\varphi_{m+1}))+dim(ker(\varphi_{m+1})))[/mm]
> wegen IV und (DS)
>  
> [mm]=(-1)^m*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(ker(\varphi_{m+1}))+(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1}))[/mm]
> wegen (EX)
>  [mm]=(-1)^{m+1}*dim(im(\varphi_{m+1}))[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Formel gilt für alle m
>  
> Sei also m=n
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^{i}*dim(V_{i})[/mm]
>  [mm]=(-1)^{n}*dim(im(\varphi_{n}))[/mm]
>  =0 wegen (*)
>  
> Ich hoffe, dass das nicht komplett falsch ist...

Es ist komplett richtig.

Gruß v. Angela

>  Aber vor allem bei (*) und (**) hab ich Bedenken...


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