exakte Sequenz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | p prim, G nicht-abelsche p-Gruppe
0 [mm] \rightarrow [/mm] Z(G) [mm] \rightarrow [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] G/Z(G) [mm] \rightarrow [/mm] 0
Zeige dies ist eine exakte Sequenz und nicht semi-split. |
Hallo!
Ich habe meine Idee, weiß aber nicht, ob das ausfühlich genug und richtig ist..
[mm] \mu: G\rightarrow [/mm] G/Z(G) mit [mm] g\mapsto [/mm] gZ(G)
also ist [mm] ker(\mu)=Z(G).
[/mm]
[mm] \phi:Z(G)\mapsto [/mm] G als Identität, sodass [mm] Im(\phi)=Z(G).
[/mm]
(Hier weiß ich nicht, kann ich das einfach so festlegen?)
Dann ist also [mm] ker(\mu)=Im(\phi) [/mm] und die Sequenz exakt.
Zum semi-split, wenn [mm] ggT(|G/Z(G)|,|Z(G)|)\not= [/mm] 1 dann ist die Sequenz nicht semi-split.
Hier noch ein paar nützliche Eigenschaften:
* G ist p-Gruppe [mm] \Rightarrow |Z(G)|\not=1
[/mm]
* G abelsch [mm] \gdw [/mm] G/Z(G) zyklisch
* G abelsch [mm] \gdw [/mm] G=Z(G)
* G/Z(G) zyklisch [mm] \gdw [/mm] |G/Z(G)|=1
Jetzt schau ich mir |G/Z(G)| an.
|G/Z(G)| = (G:Z(G)) = [mm] \bruch{|G|}{|Z(G)|}=\bruch{p^{n}}{p^{m}} [/mm] =: [mm] p^{k}.
[/mm]
Wg der obigen Aussagen: 0<k<n.
0<k da G nicht abelsch ist, und somit [mm] |G|\not=|Z(G)|
[/mm]
k<n, da G p-Gruppe ist und so [mm] |Z(G)|\not= [/mm] 1.
Und genauso 0<m<n.
Dann ist also [mm] ggT(p^{k},p^{m})=p{e}, [/mm] e:=min{k,m} und also [mm] e\not=0 \Rightarrow p^{e}\not=1 [/mm] und die Sequenz nicht semi-split.
Ist das OK so?
Lg! :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Sa 03.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> p prim, G nicht-abelsche p-Gruppe
> 0 [mm]\rightarrow[/mm] Z(G) [mm]\rightarrow[/mm] G [mm]\rightarrow[/mm] G/Z(G)
> [mm]\rightarrow[/mm] 0
>
> Zeige dies ist eine exakte Sequenz und nicht semi-split.
>
> Ich habe meine Idee, weiß aber nicht, ob das ausfühlich
> genug und richtig ist..
>
> [mm]\mu: G\rightarrow[/mm] G/Z(G) mit [mm]g\mapsto[/mm] gZ(G)
> also ist [mm]ker(\mu)=Z(G).[/mm]
>
> [mm]\phi:Z(G)\mapsto[/mm] G als Identität, sodass [mm]Im(\phi)=Z(G).[/mm]
> (Hier weiß ich nicht, kann ich das einfach so
> festlegen?)
Ja, kannst du so festlegen, schliesslich ist es so gemeint. Es ist ja kein anderer Homomorphismus $Z(G) [mm] \to [/mm] G$ angegeben.
> Dann ist also [mm]ker(\mu)=Im(\phi)[/mm] und die Sequenz exakt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zum semi-split, wenn [mm]ggT(|G/Z(G)|,|Z(G)|)\not=[/mm] 1 dann ist
> die Sequenz nicht semi-split.
Ich bezweifle arg, dass es dieses Kriterium wirklich gibt. Die Sequenz $0 [mm] \to \IZ/p\IZ \times \{ 0 \} \to \IZ/p\IZ \times \IZ/p\IZ \to \{ 0 \} \times \IZ/p\IZ \to [/mm] 0$ ist ebenfalls exakt und erfuellt, dass der ggT nicht 1 ist, aber die Sequenz ist sehr wohl semi-split (und sogar split). (Und hier handelt es sich ebenfalls um $p$-Gruppen.)
Aber falls das Kriterium doch gilt, dann ist die Argumentation ok:
> Hier noch ein paar nützliche Eigenschaften:
> * G ist p-Gruppe [mm]\Rightarrow |Z(G)|\not=1[/mm]
> * G abelsch
> [mm]\gdw[/mm] G/Z(G) zyklisch
> * G abelsch [mm]\gdw[/mm] G=Z(G)
> * G/Z(G) zyklisch [mm]\gdw[/mm] |G/Z(G)|=1
>
> Jetzt schau ich mir |G/Z(G)| an.
> |G/Z(G)| = (G:Z(G)) =
> [mm]\bruch{|G|}{|Z(G)|}=\bruch{p^{n}}{p^{m}}[/mm] =: [mm]p^{k}.[/mm]
>
> Wg der obigen Aussagen: 0<k<n.
> 0<k da G nicht abelsch ist, und somit [mm]|G|\not=|Z(G)|[/mm]
> k<n, da G p-Gruppe ist und so [mm]|Z(G)|\not=[/mm] 1.
> Und genauso 0<m<n.
>
> Dann ist also [mm]ggT(p^{k},p^{m})=p{e},[/mm] e:=min{k,m} und also
> [mm]e\not=0 \Rightarrow p^{e}\not=1[/mm] und die Sequenz nicht
> semi-split.
>
> Ist das OK so?
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:36 Sa 03.11.2012 | | Autor: | Loko |
Hm.. Ich finde auch nicht mehr den Link wo ich den Satz gefunden habe. Oder dachte, gesehen zu haben ;)
Ich versuch es also mit der Definition.
Damit es nicht semi-split ist, das kein [mm] i:G/Z(G)\rightarrow [/mm] G existieren, s.d [mm] \mu \circ [/mm] i = [mm] id_{G/Z(G)} [/mm] ist.
Hm.. wie gehe ich da ran, vllt ein Tipp?
Lg!
(Ich werd auch nochmal nach dieser Vorlesung suchen ;) )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 02:36 So 04.11.2012 | | Autor: | Loko |
Oder kann mir vllt jemand einen Tipp geben wie das [mm] i:G/Z(G)\rightarrow [/mm] G aussieht?
Also wir brauchen doch, dass alle [mm] g\in [/mm] G getroffen werden, damit wir dann über [mm] \mu [/mm] wieder ganz G/Z(G) treffen und so insgesamt auf [mm] id_{G/Z(G)} [/mm] kämen oder?
Ich glaub ich habe mich gerade erfolgreich verwirrt..
Lg ich hoffe es kann jemand einen Tipp geben :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:18 So 04.11.2012 | | Autor: | Loko |
Ich habe jetzt noch ein wenig die Vorlesung gewälzt und wir hatten eine Beziehung zwischen semisplit und complementen angesprochen (Hier weiß ich nicht, wie der deutsche Ausdruck ist.. gemeint ist folgendes:
[mm] H\leq [/mm] G heißt complement von N in G, wenn [mm] H\cap [/mm] N = 1 und HN=G)
Kommt das irgendwem bekannt vor? Denn wenn es einen Zusammenhang gibt, dann könnte ich mit einem anderen Satz meine ggT eigenschaft benutzen.
Lg!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 So 04.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Ich habe jetzt noch ein wenig die Vorlesung gewälzt und
> wir hatten eine Beziehung zwischen semisplit und
> complementen angesprochen (Hier weiß ich nicht, wie der
> deutsche Ausdruck ist.. gemeint ist folgendes:
> [mm]H\leq[/mm] G heißt complement von N in G, wenn [mm]H\cap[/mm] N = 1 und
> HN=G)
>
> Kommt das irgendwem bekannt vor? Denn wenn es einen
> Zusammenhang gibt, dann könnte ich mit einem anderen Satz
> meine ggT eigenschaft benutzen.
>
> Lg!
Du meinst vermutlich den Satz von Schur-Zassenhaus (bzw. Satz von Gaschütz): Ist $G$ eine endliche Gruppe und $N$ ein Normalteiler von $G$ mit [mm] $\gcd(|N|, [/mm] |G/N|)= 1$, so besitzt $N$ ein Komplement in $G$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 06.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
