exakte Quadraturformel in 2D < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Fr 31.05.2013 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | | Sei I = [0,1] das Einheitsintervall und durch [mm] Q_I(f) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k f(x_k) [/mm] eine Quadraturformel der Ordnung r gegeben. Zeigen Sie, dass durch [mm] Q_T(f) =\sum_{l=0}^{n_Q-1} w_k w_l f(x_k,y_l) [/mm] eine Quadraturformel der Ordnung r auf dem Einheitsviereck T = [mm] [0,1]^2 [/mm] gegeben ist, d.h. alle Polynome aus [mm] \mathrm{span}\{x^\alpha y^\beta | 0\leq \alpha\leq r-1, 0\leq\beta\leq r-1\} [/mm] werden exakt integriert. |
Hallo,
ich versuche Obiges zu zeigen, bin aber etwas unsicher über mein Vorgehen:
Sei [mm] f\in\mathrm{span}\{...\}, [/mm] dann gilt
[mm] Q_T(f) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n_Q-1}\sum_{l=0}^{n_Q-1} w_k w_l f(x_k,y_l) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \sum_{l=0}^{n_Q-1} w_l f(x_k,y_l) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \tilde Q_I(f)
[/mm]
Wir können für die y-Koordinate die Quadraturformel von oben benutzen und erhalten eine Funktion [mm] \tilde Q_I(f), [/mm] die nur noch von [mm] x_k [/mm] abhängt und y über dem Quadrat exakt integriert.
Auf die zweite Summe können wir die Quadraturformel noch einmal anwenden und erhalten
[mm] \sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \tilde Q_I(f) [/mm] = [mm] Q_I(f)
[/mm]
und damit wurde die Funktion exakt integriert.
Kann man das so stehen lassen? Das kommt mir sehr einfach vor ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Sa 01.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei I = [0,1] das Einheitsintervall und durch [mm]Q_I(f)[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k f(x_k)[/mm] eine Quadraturformel der
> Ordnung r gegeben. Zeigen Sie, dass durch [mm]Q_T(f) =\sum_{l=0}^{n_Q-1} w_k w_l f(x_k,y_l)[/mm]
> eine Quadraturformel der Ordnung r auf dem Einheitsviereck
> T = [mm][0,1]^2[/mm] gegeben ist, d.h. alle Polynome aus
> [mm]\mathrm{span}\{x^\alpha y^\beta | 0\leq \alpha\leq r-1, 0\leq\beta\leq r-1\}[/mm]
> werden exakt integriert.
>
> Hallo,
> ich versuche Obiges zu zeigen, bin aber etwas unsicher
> über mein Vorgehen:
>
> Sei [mm]f\in\mathrm{span}\{...\},[/mm] dann gilt
>
> [mm]Q_T(f)[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^{n_Q-1}\sum_{l=0}^{n_Q-1} w_k w_l f(x_k,y_l)[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \sum_{l=0}^{n_Q-1} w_l f(x_k,y_l)[/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \tilde Q_I(f)[/mm]
>
> Wir können für die y-Koordinate die Quadraturformel von
> oben benutzen und erhalten eine Funktion [mm]\tilde Q_I(f),[/mm] die
> nur noch von [mm]x_k[/mm] abhängt und y über dem Quadrat exakt
> integriert.
>
> Auf die zweite Summe können wir die Quadraturformel noch
> einmal anwenden und erhalten
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n_Q-1} w_k \tilde Q_I(f)[/mm] = [mm]Q_I(f)[/mm]
>
> und damit wurde die Funktion exakt integriert.
>
>
> Kann man das so stehen lassen? Das kommt mir sehr einfach
> vor ...
Ja, das ist in Ordnung so. Man kann den Teil mit "Wir können für die y-Koordinate die Quadraturformel von oben benutzen" natuerlich noch beliebig genau ausformulieren/formalisieren, aber mir persoenlich wuerde das so ausreichen.
Man kann das gleiche uebrigens auch fuer den $d$-dimensionalen Einheitskubus $[0, [mm] 1]^d$ [/mm] machen. Man bekommt allerdings exponentiell viele Terme (naemlich [mm] $n_Q^d$ [/mm] viele), weshalb das nur fuer kleine $d$ praktikabel ist.
LG Felix
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