exakte Pfaffsche Form < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Sa 21.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich habe mal eine Frage zum Thema "Pfaffsche Formen".
Ich muss die Frage beantworten, ob eine bestimmte gegebene Pfaffsche Form geschlossen und exakt ist und auf welchem Definitionsgebiet.
Zum Beispiel nehme ich mal
[mm] \omega=(3x^2-2y)dx+2(y-x)dy [/mm] |
Wie gehe ich vor...
Also geschlossen ist diese Form, das habe ich ganz einfach mit der Integrabilitätsbedingung ausgerechnet.
Wie kann ich aber zeigen, dass diese Form exakt ist und auf welchem Definitionsgebiet?
1.) Stammfunktion bestimmen? Die ist [mm] x^3-2xy+y^2
[/mm]
Okay, dann muss die Form ja exakt sein - auf [mm] \IR^2 [/mm] (oder?)
Ein anderer Weg geht irgendwie, dass man testet, ob das Integral dieser Form über eine geschlossene Kurve gleich 0 ist, dann ist die Form auch exakt.
Aber was für eine geschlossene Kurve kann man denn nehmen?
Das ist überhaupt immer mein Problem: Wie findet man immer eine geschlossene Kurve, mit der man testen kann, ob eine Pfaffsche Form exakt ist?
[Hier muss ich doch eine beliebige geschlossene Kurve im [mm] \IR^2 [/mm] nehmen oder? Welche kann man da z.B. heranziehen?]
Vielen Dank fürs Lesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 22.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe mal eine Frage zum Thema "Pfaffsche Formen".
>
> Ich muss die Frage beantworten, ob eine bestimmte gegebene
> Pfaffsche Form geschlossen und exakt ist und auf welchem
> Definitionsgebiet.
>
> Zum Beispiel nehme ich mal
>
> [mm]\omega=(3x^2-2y)dx+2(y-x)dy[/mm]
> Wie gehe ich vor...
>
> Also geschlossen ist diese Form, das habe ich ganz einfach
> mit der Integrabilitätsbedingung ausgerechnet.
>
> Wie kann ich aber zeigen, dass diese Form exakt ist und auf
> welchem Definitionsgebiet?
Eine Form [mm] $\omega$ [/mm] ist exakt, wenn es eine Form F gibt mit [mm] $dF=\omega$.
[/mm]
>
> 1.) Stammfunktion bestimmen? Die ist [mm]x^3-2xy+y^2[/mm]
Genau. Wenn du eine globale Stammfunktion F hast, dann ist die Form [mm] $\omega [/mm] =dF$ auf dem Definitionsbereich von F exakt.
> Okay, dann muss die Form ja exakt sein - auf [mm]\IR^2[/mm] (oder?)
Solange deine Stammfunktion auf ganz [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert ist.
> Ein anderer Weg geht irgendwie, dass man testet, ob das
> Integral dieser Form über eine geschlossene Kurve gleich 0
> ist, dann ist die Form auch exakt.
>
> Aber was für eine geschlossene Kurve kann man denn
> nehmen?
> Das ist überhaupt immer mein Problem: Wie findet man
> immer eine geschlossene Kurve, mit der man testen kann, ob
> eine Pfaffsche Form exakt ist?
>
> [Hier muss ich doch eine beliebige geschlossene Kurve im
> [mm]\IR^2[/mm] nehmen oder? Welche kann man da z.B. heranziehen?]
Du musst es nicht für eine beliebige geschlossene Kurve zeigen, sondern für jede beliebige geschlossene Kurve. Das macht es im allgemeinen schwierig. Besser ist es, eine Stammfunktion anzugeben.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 So 22.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, es ist also völlig in Ordnung, wenn man eine Stammfunktion angibt.
Ich habe noch zwei solche Aufgaben, die ich hier gerne auch fragen möchte. Unklar ist mir dann nur noch eine davon.
(i) [mm] \omega=y dx [/mm]
(ii) [mm] [mm] \omega=(2x+3y)dx+(3x+2z)dy+2(y+4z)dz
[/mm]
Erstmal zu (ii):
Hier habe ich zunächst kontrolliert, ob die Integrabilitätsbedingung erfüllt ist und das ist der Fall; als Stammfunktion habe ich dann [mm] f(x,y,z):=x^2+3xy+2yz+4z^2 [/mm].
Damit ist [mm] \omega [/mm] geschlossen und exakt - ich würde sagen: auf ganz [mm] \IR^3, [/mm] denn ich sehe da keinen Punkt oder so, für den das nicht gelten sollte.
Ist das korrekt?
Nun zu (i):
Da verwirrt mich das ein bisschen!
[mm] \omega=y dx [/mm]...
Wie soll man da die Integrabilitätsbedingung kontrollieren?
Ist das so zu verstehen, dass [mm] \omega=y dx + 0 dy? [/mm]
Irgendwie fehlen mir da Angaben, wie die Pfaffsche Form komplett aussieht...
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[mm]\omega = y~\mathrm{d}x = y~\mathrm{d}x + 0~\mathrm{d}y[/mm]
Das siehst du völlig richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 22.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Okay, also
[mm] \omega=y dx + 0 dy [/mm]
Dann ist [mm] f_1=y [/mm] und [mm] f_2=0
[/mm]
Und damit gilt die Integrabilitätsbedingung nicht:
[mm] \frac{\partial y}{\partial y}=1\neq 0=\frac{\partial 0}{\partial x} [/mm]
Also ist [mm] \omega [/mm] weder geschlossen, noch exakt.
Ist das korrekt?
Oder habe ich da was verdreht.
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Und wieder siehst du das richtig. (Bescheidenheit ist zwar eine Tugend, aber zu viele Selbstzweifel tun nicht gut.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 So 22.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Danke für die Hilfe.
Ja, manchmal sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht...
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