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| Aufgabe | Bestimmen Sie das maximale Intervall, auf das sich die Lösung der folgenden exakten Differentialgleichung mit x(1)=1 fortsetzen lässt:
(2tx)dx+([mm]x^{2}+t^{2}[/mm])dt |
Die implizite Lösung lautet [mm]\bruch{1}{3}t^{3}+tx^{2}=C[/mm], mit der gegebenen Anfangsbedingung ist [mm] C=\bruch{4}{3}.
[/mm]
Auflösen ergibt: [mm]x^{2}=\bruch{4}{3t}-\bruch{1}{3}t^{2}[/mm]
Also [mm] t\not=0. [/mm] Für t<0 ist [mm]x^{2} [/mm] also imaginär somit keine Lösung. Für t>0 ist [mm]x^{2}[/mm] nur dann reell wenn gilt, dass [mm]\bruch{4}{3t}-\bruch{1}{3}t^{2}\ge 0[/mm]. Dies ist dann der Fall, wenn [mm]t<\wurzel[3]{4}[/mm]. Da [mm]\limes_{t\rightarrow\\wurzel[3]{4}}=0[/mm], aber x=0 keine Lösung der Differentialgleichung ist, ist das Maximale Lösungsintervall [mm]]0;\wurzel[3]{4}[[/mm].
Meine Frage dazu: Ist das Ergebnis richtig?
Vielen Dank,
LG
Nico
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Di 14.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi,
so wie du das argumentierst und vorausgesetzt keine Fehler in der Rechnung stimmt das. Es gibt da aber noch so einen Satz , der genau sagt auf welchen Intervall die LÖsung erweitert wrden kann, es hat was mit der Glattheit der DGL-Funktion dx/dt=F(x,t) zu tun. Kann ihn jetzt leider nicht finden. Wenn später finde, dann ich werd ich ihn dir hier posten.
bis dann
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Di 14.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Nico
Im Prinzip wär alles in deinem Vorgehen in Ordnung, aber die Lösung ist falsch:
> Bestimmen Sie das maximale Intervall, auf das sich die
> Lösung der folgenden exakten Differentialgleichung mit
> x(1)=1 fortsetzen lässt:
> (2tx)dx+([mm]x^{2}+t^{2}[/mm])dt
> Die implizite Lösung lautet [mm]\bruch{1}{3}t^{3}+tx^{2}=C[/mm],
ich hab
[mm]\bruch{1}{3}t^{3}+2*tx^{2}=C[/mm]
[mm] 1*tx^2 [/mm] von (2tx)dx und [mm] 1*tx^2 [/mm] von x^2dt
Gruss leduart
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Hallo,
vielen dank für deine Hilfe, nur versteh ich nicht ganz, warum deine Lösung richtig ist, denn wenn ich deine Stammfunktion nach x ableite, erhalte ich 4tx und nicht 2tx, ebenso erhalte ich nach t abgeleitet [mm] 2x^{2}+t^{2} [/mm] .
LG
Nico
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Du hast Recht, deine Lösung ist richtig, falls die DGL. ...=0 lautete (tatsächlich hast du in der Aufgabenstellung nur einen Term hingeschrieben, keine Gleichung). Das totale Differential der Linken Seite deiner Lösung entspricht dem Term deiner Aufgabenstellung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Mi 15.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tut mir leid! ![[cry01]](/images/smileys/cry01.gif "[cry01]")
du hattest Recht und ALLES war richtig!
Tschuldigung und Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 16.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hi, der von mir oben erwähnte Satz, hat ungefähr die Aussage:
wenn Du die Funktion F(x,t) von dx/dt=F(x,t)auf einem Rechteck [mm] \vektor{[a,b]\\c,d]} [/mm] Lipschitzstetig fortsetzen kannst, dann kannst du auch deine Lösung auf diesem Rechteck stetig fortsetzen.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Fr 17.08.2007 | | Autor: | artic3000 |
Vielen Dank für Eure Hilfe!!! 
LG Nico
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