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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mi 20.01.2010 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | | [mm] 3x^{2}ydx [/mm] + [mm] (x^{3}+2y)dy=0 [/mm] |
Hallo. ich habe hier eine Lösung für diese Aufgabe, verstehe aber einen Schritt nicht. Vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen. Danke schonmal.
Ich schreibe mal den Lösungsweg auf.
Die exakte DGL hat die Form: M(x,y)+N(x,y)=0
Dann ist M(x,y)= [mm] 3x^{2}y [/mm] und N(x,y)= [mm] x^{3}+2y. [/mm] Offenbar gilt [mm] M_{y}= 3x^{2} [/mm] = [mm] N_{x}, [/mm] also ist die DGL exakt.
Für die Stammfunktion F(x,y) gilt: [mm] F_{x}=M [/mm] und [mm] F_{y}=N.
[/mm]
Man startet mit der Bedingung [mm] F_{x}=M [/mm] ; [mm] F_{x}= 3x^{2}y. [/mm] Integration nach x liefert F(x,y)= [mm] x^{3}y+ [/mm] C(x), wobei C(x) eine beliebige Funktion von y ist.
Die Auswertung von [mm] F_{y}=N [/mm] liefert nun [mm] x^{3} [/mm] + C'(y) = [mm] x^{3} [/mm] +2y, also C'(y)=2y bzw. [mm] C(x)=y^{2}
[/mm]
Diesen Abschnitt verstehe ich nicht. Wie kommt man auf [mm] x^{3} [/mm] + C'(y) = [mm] x^{3} [/mm] +2y ????
Damit ist [mm] F(x,y)=x^{3}y+y^{2}=C [/mm] die allgemeine Lösung der DGL.
Wäre schön, wenn mir jemand meine Frage beabtworten könnte. Danke
LG
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Hallo tynia,
> [mm]3x^{2}ydx[/mm] + [mm](x^{3}+2y)dy=0[/mm]
> Hallo. ich habe hier eine Lösung für diese Aufgabe,
> verstehe aber einen Schritt nicht. Vielleicht kann mir
> einer von euch weiterhelfen. Danke schonmal.
>
> Ich schreibe mal den Lösungsweg auf.
>
>
> Die exakte DGL hat die Form: M(x,y)+N(x,y)=0
Die obige DGL nennt man totale DGL 1. Ordnung.
Diese hat die Form
[mm]M(x,y) \ \blue{dx} +N(x,y) \ \blue{dy}=0[/mm]
>
> Dann ist M(x,y)= [mm]3x^{2}y[/mm] und N(x,y)= [mm]x^{3}+2y.[/mm] Offenbar
> gilt [mm]M_{y}= 3x^{2}[/mm] = [mm]N_{x},[/mm] also ist die DGL exakt.
>
> Für die Stammfunktion F(x,y) gilt: [mm]F_{x}=M[/mm] und [mm]F_{y}=N.[/mm]
>
> Man startet mit der Bedingung [mm]F_{x}=M[/mm] ; [mm]F_{x}= 3x^{2}y.[/mm]
> Integration nach x liefert F(x,y)= [mm]x^{3}y+[/mm] C(x), wobei C(x)
> eine beliebige Funktion von y ist.
Hier meinst Du sicherlich: [mm]F\left(x,y\right)=x^{3}*y+C\left(\blue{y}\right)[/mm]
>
> Die Auswertung von [mm]F_{y}=N[/mm] liefert nun [mm]x^{3}[/mm] + C'(y) =
> [mm]x^{3}[/mm] +2y, also C'(y)=2y bzw. [mm]C(x)=y^{2}[/mm]
>
> Diesen Abschnitt verstehe ich nicht. Wie kommt man auf
> [mm]x^{3}[/mm] + C'(y) = [mm]x^{3}[/mm] +2y ????
Die linke Seite ist hier einfach die Funktion
[mm]F\left(x,y\right)=x^{3}*y+C\left(\blue{y}\right)[/mm]
nach y differenziert.
Dieses vergleichst Du jetzt mit [mm]N(x,y)= x^{3}+2y[/mm]
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> Damit ist [mm]F(x,y)=x^{3}y+y^{2}=C[/mm] die allgemeine Lösung der
> DGL.
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> Wäre schön, wenn mir jemand meine Frage beabtworten
> könnte. Danke
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Mi 20.01.2010 | | Autor: | tynia |
Vielen lieben dank.
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