euklidischer Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Sei V ein euklidischer Raum, <v|v> das Skalarprodukt und ||v|| := [mm] \wurzel{} [/mm] . Zeigen Sie, dass für a,b [mm] \varepsilon [/mm] V gilt:
a-b [mm] \perp [/mm] a+b [mm] \gdw [/mm] ||a|| = ||b||
2. Sei V ein euklidischer Raum, <v|v> das kanonische Skalarprodukt auf V. Die Norm sei durch ||v|| = [mm] \wurzel{} [/mm] erklärt.
Zeigen Sie, dass für jedes Paar von Vektoren x,y [mm] \in [/mm] V folgendes Aussagen gelten:
a) ||x-y||² = ||x||²+||y||²-2||x||*||y||*cos0 , wobei cos0 den winkel zwischen x und y bezeichnet (Verallgemeinterter Phytagoras)
b) ||x+y||²+||x-y||²=2||x||²+2||y||² (Parallelogramm Gleichung) |
zu 1.
(a+b)(a-b)=0 //Satz des Thales
a²-ab+ab-b²=0
a²-b²=0
a²=b²
a=b
Das war mein Ansatz. Leider weiß ich nicht, ob ich damit richtig oder falsch lag. Habe ich damit die bewiesen, dass für a,b [mm] \varepsilon [/mm] V gilt?
zu 2.
a) ||x-y||² = ||x²-2xy*cos0+y²|| = ||x²||-||2xy*cos0||+||y²|| = ||x||² - 2||x||*||y||*cos0 + ||y||²
b) ||x+y||² + ||x-y||² = ||(x+y)²+(x-y)²|| = ||x² + 2xy + y² + x² -2xy + y²|| = ||2x² + 2y²|| = ||2x²|| + ||2y²|| = 2||x||² + 2||y||²
Stimmt das so?
|
|
| |
|
> 1. Sei V ein euklidischer Raum, <v|v> das Skalarprodukt und
> ||v|| := [mm]\wurzel{}[/mm] . Zeigen Sie, dass für a,b
> [mm]\varepsilon[/mm] V gilt:
>
> a-b [mm]\perp[/mm] a+b [mm]\gdw[/mm] ||a|| = ||b||
>
> 2. Sei V ein euklidischer Raum, <v|v> das kanonische
> Skalarprodukt auf V. Die Norm sei durch ||v|| =
> [mm]\wurzel{}[/mm] erklärt.
> Zeigen Sie, dass für jedes Paar von Vektoren x,y [mm]\in[/mm] V
> folgendes Aussagen gelten:
>
> a) ||x-y||² = ||x||²+||y||²-2||x||*||y||*cos0 , wobei cos0
> den winkel zwischen x und y bezeichnet (Verallgemeinterter
> Phytagoras)
>
> b) ||x+y||²+||x-y||²=2||x||²+2||y||² (Parallelogramm
> Gleichung)
> zu 1.
Hallo,
hier sind ja zwei Richungen zu zeigen, die würde ich ertmal getrennt aufschreiben und beweisen.
>
> (a+b)(a-b)=0 //Satz des Thales
> a²-ab+ab-b²=0
Was ist hier mit [mm] a^2 [/mm] und [mm] b^2 [/mm] gemeint?
> a²-b²=0
> a²=b²
> a=b
Der Schluß stimmt weder für relle zahlen noch für Vektoren.
>
> Das war mein Ansatz. Leider weiß ich nicht, ob ich damit
> richtig oder falsch lag. Habe ich damit die bewiesen, dass
> für a,b [mm]\varepsilon[/mm] V gilt?
???
Ist Dir klar, was Du zeigen wolltest/solltest?
>
>
> zu 2.
>
> a) ||x-y||² = ||x²-2xy*cos0+y²|| =
> ||x²||-||2xy*cos0||+||y²|| = ||x||² - 2||x||*||y||*cos0 +
> ||y||²
>
> b) ||x+y||² + ||x-y||² = ||(x+y)²+(x-y)²|| = ||x² + 2xy +
> y² + x² -2xy + y²|| = ||2x² + 2y²|| = ||2x²|| + ||2y²|| =
> 2||x||² + 2||y||²
>
> Stimmt das so?
Wenn Du hier die Normstriche entfernst, wo sie nicht hingehören, ist die Sache gut zu retten.
Gruß v. Angela
>
>
|
|
|
|
