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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - euklidischer VR
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euklidischer VR: Bitte um Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:44 Mi 11.07.2007
Autor: Zerwas

Aufgabe
Sei [mm] V=\IR^4, W=<\pmat{1\\0\\1\\0},\pmat{-1\\2\\0\\0}> [/mm] und für [mm] x,y\in\IR^4 [/mm] <x,y>=x^TAy mit
[mm] A=\pmat{2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1} [/mm]

(a) Überlegen Sie ob V oder W mit der oben definierten Bilinearform < , > euklidische Räume sind.
(b) Geben Sie eine Orthonormalbasis von W bezüglich < , > an.

(a) V und W sind trivialerweise VR. Jezt bleibt noch zu zeigen, dass < , > symmetrisch und positiv definit ist.
Symmetrie: lässt sich aus der symmetrie von A herleiten
positive Definitheit: für V sind nicht alle EW von A positiv und damit ist < , > über V kein Skalarprodut. Über W jedoch ist der Eintrag [mm] a_{44} [/mm] irrelevant, da man W auch als Teilraum von [mm] \IR^3 [/mm] auffassen könnte und damit die 4. Zeile und Spalte der Matrix wegfallen würden. [mm] \Rightarrow [/mm] < , > ist über W ein Salarprodukt und damit W bzgl. < , > ein euklidischer Raum.

(b) Orthogonalisieren:
[mm] u_1=\pmat{1\\0\\1\\0} [/mm]
[mm] u_2=\pmat{-1\\2\\0\\0}-\bruch{<\pmat{-1\\2\\0\\0},\pmat{1\\0\\1\\0}>}{<\pmat{1\\0\\1\\0},\pmat{1\\0\\1\\0}>}*\pmat{1\\0\\1\\0} [/mm]
[mm] <\pmat{-1\\2\\0\\0},\pmat{1\\0\\1\\0}>=\pmat{-1&2&0&0}*\pmat{2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1}*\pmat{1\\0\\1\\0}=-2 [/mm]
[mm] <\pmat{1\\0\\1\\0},\pmat{1\\0\\1\\0}>=\pmat{1\\0\\1\\0}*\pmat{2&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1}*\pmat{1\\0\\1\\0}=3 [/mm]
[mm] \Rightarrow u_2=\pmat{-1\\2\\0\\0}+\bruch{2}{3}*\pmat{1\\0\\1\\0}=\pmat{-\bruch{1}{3}\\2\\\bruch{2}{3}\\0} [/mm]

Orthogonalisieren:
[mm] =3 \Rightarrow ||u_1||=\Wurzel{3} [/mm]
[mm] \Rightarrow e_1=\pmat{\bruch{1}{\wurzel{3}}\\0\\\bruch{1}{\wurzel{3}}\\0} [/mm]

[mm] =\bruch{14}{3} \Rightarrow ||u_2||=\bruch{\wurzel{14}}{\wurzel{3}} [/mm]
[mm] \Rightarrow e_2=\pmat{-\bruch{\wurzel{3}}{3*\wurzel{14}}\\\bruch{2*\wurzel{3}}{\wurzel{14}}\\\bruch{2*\wurzel{3}}{3*\wurzel{14}}\\0} [/mm]


Stimmt das so?

Gruß Zerwas

        
Bezug
euklidischer VR: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Fr 13.07.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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