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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 19.08.2012 | | Autor: | DonC |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik [mm] 5x_{1}^{2}-8x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}+6x_{1}-12x_{2}-9=0 [/mm] und ermitteln sie die zugehörige Koordinatentransformation. Bestimmen sie anhander der Normalform die Gestalt der Quadrik und fertigen Sie eine Skizze der Quadrik in Standartkoordinaten an. |
Hallo liebe Gemeinde,
ich rechne schon längere Zeit an dieser Aufgabe herum ohne schlüssig zu werden. Und zwar hab ich das Problem mit der orthogonalen Transformationsmatrix. Der quadratische Anteil ist [mm] A=\pmat{ 5 & -4 \\ -4 & 5 }, [/mm] der lineare Anteil ist [mm] a=\vektor{3 \\ -6} [/mm] und der konstante Anteil ist c=-9.
Nach Bestimmung der Eigenwerte von A zu [mm] \lambda_{1}=9 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=1 [/mm] erhalte ich die Eigenvektoren [mm] v_{1}=\vektor{-1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 1}. [/mm] Und somit eine orthonormale Transformationsmatrix zu [mm] T=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] welche den linearen Anteil auf [mm] \tilde{a}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1 }\vektor{3 \\ -6}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-9 \\ -3} [/mm] transformiert.
Somit komme ich auf die Gleichung [mm] 9y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-9\wurzel{2}y_{1}-3\wurzel{2}y_{2}-9=0 [/mm] und durch Verschiebung des Ursprunges, d.h. mit quadratischer Ergänzung, komme ich auf eine Gleichung von [mm] 9z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-14=0 [/mm] mit dem Ursprung [mm] P(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{3}{\wurzel{2}}). [/mm]
Mein Problem ist, dass ich ja die Reihenfolge der Eigenwerte in T beliebig wählen kann, wenn ich sie gleich in der Diagonalmatrix wähle. Wenn ich dies nun anwende mit [mm] \tilde{T}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm] erhalte ich einen transformierten linearen Anteil zu [mm] \tilde{\tilde{a}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & -1 \\ 1 & 1 }\vektor{3 \\ -6}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{9 \\ -3} [/mm] und somit die transformierte Gleichung [mm] \tilde{y_{1}}^{2}+9\tilde{y_{2}} ^{2}+9\wurzel{2}\tilde{y_{1}}-3\wurzel{2}\tilde{y_{2}} [/mm] -9=0 und nach qdr. Erg. die Gleichung [mm] \tilde{z_{1}^}^{2}+9\tilde{z_{2}^}^{2}-\bruch{445}{9}=0 [/mm] mit dem Ursprung [mm] \tilde{P}=(\bruch{-9}{\wurzel{2}},\bruch{1}{3\wurzel{2}}). [/mm]
Wenn ich keinen Rechenfehler gemacht habe unterscheiden sich die beiden Gleichungen im Ursprung, was eigentlich nicht sein dürfte? Desweiteren ist in der Lösung mit [mm] \tilde{\tilde{T}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & 1 \\ 1 & -1 } [/mm] gerechnet worden was eine Gleichung von [mm] -z_{1}^{2}-9z_{2}^{2}-18=0 [/mm] ergibt, d.h. wieder einen anderen Ursprung und einen anderen konstanten Anteil. Zusammengefasst ist die Diagonalmatrix bei der Rechnung mit "T" [mm] D=\pmat{ 9 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und bei der Rechnung mit [mm] \tilde{T} [/mm] und [mm] \tilde{\tilde{T}} [/mm] ist [mm] D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 9 }. [/mm] Sind nun alle drei Gleichungen richtig? Wenn ich die drei Ellipsen, unabhängig vom Koordinatensystem, zeichnen lasse, so sehen die beiden Ellipsen von T und [mm] \tilde{\tilde{T}} [/mm] recht ähnlich, jedoch um 90° gedreht. Die Ellipse die sich durch Rechnung mit [mm] \tilde{T} [/mm] ergeben hat sieht hingegen nicht ähnlich aus, was mich verwirrt.
Gibt es ein gewisses "Rezept" welche der Transformationsmatrizen verwendet werden soll? (vorallem für die Skizze)
Wie sollte ich mit der Koordinatentransformation [mm] x_{E}=T(z+P) [/mm] am besten umgehen um eine Skizze zu zeichnen?
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wenn ich mich unverständlich ausgedrückt habe, so teilt es mir bitte mit.
MfG DonC
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Hallo DonC,
> Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik
> [mm]5x_{1}^{2}-8x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}+6x_{1}-12x_{2}-9=0[/mm] und
> ermitteln sie die zugehörige Koordinatentransformation.
> Bestimmen sie anhander der Normalform die Gestalt der
> Quadrik und fertigen Sie eine Skizze der Quadrik in
> Standartkoordinaten an.
>
>
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> Hallo liebe Gemeinde,
> ich rechne schon längere Zeit an dieser Aufgabe herum
> ohne schlüssig zu werden. Und zwar hab ich das Problem mit
> der orthogonalen Transformationsmatrix. Der quadratische
> Anteil ist [mm]A=\pmat{ 5 & -4 \\ -4 & 5 },[/mm] der lineare Anteil
> ist [mm]a=\vektor{3 \\ -6}[/mm] und der konstante Anteil ist c=-9.
> Nach Bestimmung der Eigenwerte von A zu [mm]\lambda_{1}=9[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=1[/mm] erhalte ich die Eigenvektoren
> [mm]v_{1}=\vektor{-1 \\ 1}[/mm] und [mm]v_{2}=\vektor{1 \\ 1}.[/mm] Und somit
> eine orthonormale Transformationsmatrix zu
> [mm]T=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1 },[/mm] welche den
> linearen Anteil auf [mm]\tilde{a}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{-1 & 1 \\ 1 & 1 }\vektor{3 \\ -6}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{-9 \\ -3}[/mm]
> transformiert.
> Somit komme ich auf die Gleichung
> [mm]9y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-9\wurzel{2}y_{1}-3\wurzel{2}y_{2}-9=0[/mm]
> und durch Verschiebung des Ursprunges, d.h. mit
> quadratischer Ergänzung, komme ich auf eine Gleichung von
> [mm]9z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-14=0[/mm] mit dem Ursprung
> [mm]P(\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{3}{\wurzel{2}}).[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich ja die Reihenfolge der
> Eigenwerte in T beliebig wählen kann, wenn ich sie gleich
> in der Diagonalmatrix wähle. Wenn ich dies nun anwende mit
> [mm]\tilde{T}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> erhalte ich einen transformierten linearen Anteil zu
> [mm]\tilde{\tilde{a}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & -1 \\ 1 & 1 }\vektor{3 \\ -6}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{9 \\ -3}[/mm]
> und somit die transformierte Gleichung
> [mm]\tilde{y_{1}}^{2}+9\tilde{y_{2}} ^{2}+9\wurzel{2}\tilde{y_{1}}-3\wurzel{2}\tilde{y_{2}}[/mm]
> -9=0 und nach qdr. Erg. die Gleichung
> [mm]\tilde{z_{1}^}^{2}+9\tilde{z_{2}^}^{2}-\bruch{445}{9}=0[/mm] mit
Da hat sich bei der Berechnung des Absolutgliedes ein Rechenfehler eingeschlichen.
Herauskommen sollte:
[mm]\tilde{z_{1}}^{2}+9\tilde{z_{2}}^{2}-\red{18}=0[/mm]
> dem Ursprung
> [mm]\tilde{P}=(\bruch{-9}{\wurzel{2}},\bruch{1}{3\wurzel{2}}).[/mm]
>
> Wenn ich keinen Rechenfehler gemacht habe unterscheiden
> sich die beiden Gleichungen im Ursprung, was eigentlich
> nicht sein dürfte? Desweiteren ist in der Lösung mit
> [mm]\tilde{\tilde{T}}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{1 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
> gerechnet worden was eine Gleichung von
> [mm]-z_{1}^{2}-9z_{2}^{2}-18=0[/mm] ergibt, d.h. wieder einen
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\blue{+}z_{1}^{2}\blue{+}9z_{2}^{2}-18=0[/mm]
> anderen Ursprung und einen anderen konstanten Anteil.
> Zusammengefasst ist die Diagonalmatrix bei der Rechnung mit
> "T" [mm]D=\pmat{ 9 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und bei der Rechnung mit
> [mm]\tilde{T}[/mm] und [mm]\tilde{\tilde{T}}[/mm] ist [mm]D=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 9 }.[/mm]
> Sind nun alle drei Gleichungen richtig? Wenn ich die drei
> Ellipsen, unabhängig vom Koordinatensystem, zeichnen
> lasse, so sehen die beiden Ellipsen von T und
> [mm]\tilde{\tilde{T}}[/mm] recht ähnlich, jedoch um 90° gedreht.
> Die Ellipse die sich durch Rechnung mit [mm]\tilde{T}[/mm] ergeben
> hat sieht hingegen nicht ähnlich aus, was mich verwirrt.
> Gibt es ein gewisses "Rezept" welche der
> Transformationsmatrizen verwendet werden soll? (vorallem
> für die Skizze)
> Wie sollte ich mit der Koordinatentransformation
> [mm]x_{E}=T(z+P)[/mm] am besten umgehen um eine Skizze zu zeichnen?
> Kann mir jemand weiterhelfen?
> Wenn ich mich unverständlich ausgedrückt habe, so teilt
> es mir bitte mit.
>
> MfG DonC
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 22.08.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo MathePower,
danke für deine Mühe das Ganze durchzuarbeiten. Mir ist außerdem beim rechnen einer ähnlichen Aufgabe aufgefallen, dass der lineare Anteil der Quadrik zu [mm] \tilde{a}=T^{T}a [/mm] transformiert wird und nicht, was ich hier gemacht habe, mit der Transformationsmatrix selber. Da x=Ty gilt und somit folgt [mm] a^Tx=a^{T}Ty=(T^{T}a)^{T}y.
[/mm]
Hast du noch einen Tipp wie ich diese Ellipse, unter Verwendung der Kotrafo [mm] x=Tz+TP_{F}=Tz+P_{E}, [/mm] im Standartkoordinatensystem zeichnen kann?
Grüße DonC
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Hallo DonC,
> Hallo MathePower,
> danke für deine Mühe das Ganze durchzuarbeiten. Mir ist
> außerdem beim rechnen einer ähnlichen Aufgabe
> aufgefallen, dass der lineare Anteil der Quadrik zu
> [mm]\tilde{a}=T^{T}a[/mm] transformiert wird und nicht, was ich hier
> gemacht habe, mit der Transformationsmatrix selber. Da x=Ty
> gilt und somit folgt [mm]a^Tx=a^{T}Ty=(T^{T}a)^{T}y.[/mm]
> Hast du noch einen Tipp wie ich diese Ellipse, unter
> Verwendung der Kotrafo [mm]x=Tz+TP_{F}=Tz+P_{E},[/mm] im
> Standartkoordinatensystem zeichnen kann?
>
Für eine Skizze benötigst Du doch nur
- den Ursprung,
- die Länge der Halbachsen,
- die Richtung der Halbachsen.
> Grüße DonC
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 22.08.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo MathePower,
danke für deine Antwort, da habe ich nicht ganz zu Ende gedacht.
MfG DonC
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