erzeugendensystem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 11.11.2007 | | Autor: | bonni |
| Aufgabe | es seien folgende vektoren aus R4 gegeben:
{v1= (1 3 0 2), v2=(3 9 2 8), v3=(5 10 7 12), v4=(2 1 3 2), v5=(0 2 -1 1) }
lässt sich jeder vektor v [mm] \in [/mm] R4 forgendermaßen darstellen:
v= a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4+a5*v5 mit geeignet gewählten [mm] a_{i} \in [/mm] R |
hallo!!
ich hab mir zu der aufgabe ein paar gedanken gemacht:
Es geht ja darum, dass man beweisen soll ob diese 5 vektoren ein erzeugendensystem des R4 sind. Dann lässt sich jeder vektor aus (x y z k) (mit (x y z k) [mm] \in [/mm] R4 , beliebig aber fest) als linearkombination der 5 vektoren schreiben.
Also: (x y z k)=a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4+a5*v5
nun müsste man sich die frage stellen:
kann man für jede wahl von (x y z k) 5 skalare a1,a2,a4,a4,a5 finden sodass die obrige gleichung gilt?
Dies ist der fall falls die 5 vekroren linear unabhängig sind.
lineare unabhängigkeit ist gegeben wenn die gleichung
(0 0 0 0 ) = a1*v1+a2*v2+a3*v3+a4*v4+a5*v5
die lösung a1=a2=a3=a4=a5=0 ergibt.
stimmt das alles soweit? bzw wie könnte ich das besser formulieren, meiner meinung nach klingt das nicht gerade mathematisch 
das hab ich jetzt versucht mal anzuwenden:
dazu habe ich die 5 vektoren in eine matrix geschrieben (also jeder vektor wird zu einer spalte). aus dieser matrix habe ich dann ein homogenes LGs gemacht ( also alle gleichungen =o gesetzt). falls nun dieses LGS die lösung a1=0, a2=o a3=0, a4=0, a5=0 ergibt dann wäre ja bewiesen, dass sie vektoren linear unabhängig sind und die vektoren ein erzeugendensystem von R4 sind?! oder liege ich da falsch
nach dem umformen meiner homogenen matrix erhalte ich dann aber zwei nullzeilen, dass heißt ja dann dass die vektoren irgendeiner weise linear abhängig voneinander sein müssten.
also: die vektoren sind kein erzeugendensystem?!?
Liege ich mit meinem lösungsversuch richtig?
Wäre echt super wenn sich jemand die mühe macht und meinen beitrag beantwortet!!! vielen dank
grüße!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 So 11.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
deine Gedanken sind schon ganz gut.
Ein weiterer wichtiger Hinweis: Im [mm] \IR^n [/mm] können höchsten n Vektoren linear unabhängig sein.
Sprich in deinem Fall: [mm] v_i\in\IR^4 [/mm] können höchstens vier Vektoren [mm] {v_i\in\IR^4, i=1,..,4} [/mm] linear unabhängig sein.
Du hast richtig erkannt, dass Vektoren linear unabhängig sind, wenn
[mm] 0=\summe_{i=1}^{n}{a_i*v_i} \gdw {a_i=0; i=1,...,n}
[/mm]
> dazu habe ich die 5 vektoren in eine matrix geschrieben (also jeder vektor wird zu einer spalte). aus dieser matrix habe ich dann ein homogenes LGs gemacht ( also alle gleichungen =o gesetzt). falls nun dieses LGS die lösung a1=0, a2=o a3=0, a4=0, a5=0 ergibt dann wäre ja bewiesen, dass sie vektoren linear unabhängig sind und die vektoren ein erzeugendensystem von R4 sind?! oder liege ich da falsch
Da liegst du fast richtig. Wir "befinden" uns ja im [mm] \IR^4.
[/mm]
Wir können mit Vektoren aber trotzdem mal - wie von dir vorgeschlagen -
ein homogenes LGS aufschreiben:
[mm] \pmat{ 1 & 3 & 5 & 2 & 0 & | 0\\ 3 & 9 & 10 & 1 & 2 & | 0 \\ 0 & 2 & 7 & 3 & -1 & | 0 \\ 2 & 8 & 12 & 2 & 1 & | 0}
[/mm]
[mm] \underbrace{\to}_{Gauss} [/mm] ....
[mm] \pmat{ \red{10} & 0 & 0 & 30 &-7 &|0\\ 0 &\red{10} &0 &-20 &9 & |0 \\ 0& 0 &\red{-5} &-5 &2 &|0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | 0}
[/mm]
Jetzt haben wir eine Zeilen-Stufenform (rot markiert). Die Vekotoren v, die du in diese Spalte anfangs eingetragen hast, sind linear unabhängig [mm] (v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] sind demnach linear unabhängig.)
[mm] v_4 [/mm] und [mm] v_5 [/mm] sind linearkombinationen aus [mm] v_1,v_2 [/mm] und [mm] v_3:
[/mm]
[mm] a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3=a_1*\vektor{1 \\3\\ 0\\ 2}+a_2*\vektor{3\\ 9 \\2 \\8}+a_3*\vektor{5 \\10 \\7 \\12}=\vektor{2\\ 1 \\3 \\2}=v_4 [/mm] für [mm] a_1=3, a_2=-2 [/mm] und [mm] a_3=1
[/mm]
[mm] a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3=a_1*\vektor{1 \\3\\ 0\\ 2}+a_2*\vektor{3\\ 9 \\2 \\8}+a_3*\vektor{5 \\10 \\7 \\12}=\vektor{0 \\2 \\-1\\ 1}=v_5 [/mm] für [mm] a_1=-\bruch{7}{10}, a_2=\bruch{9}{10} [/mm] und [mm] a_3=-\bruch{2}{5}
[/mm]
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 11.11.2007 | | Autor: | bonni |
vielen vielen dank für die schnelle und hilfreiche antwort!!!!!!
> Ein weiterer wichtiger Hinweis: Im [mm]\IR^n[/mm] können höchsten n
> Vektoren linear unabhängig sein.
>
> Sprich in deinem Fall: [mm]v_i\in\IR^4[/mm] können höchstens vier
> Vektoren [mm]{v_i\in\IR^4, i=1,..,4}[/mm] linear unabhängig sein.
wenn man das weiß, dass kann man ja von vorneherein sagen, dass die 5 vektoren nich alle linear unabhängig voneinander sein können es also kein erzeugendensystem sein kann? oder?
> [mm]\pmat{ 1 & 3 & 5 & 2 & 0 & | 0\\ 3 & 9 & 10 & 1 & 2 & | 0 \\ 0 & 2 & 7 & 3 & -1 & | 0 \\ 2 & 8 & 12 & 2 & 1 & | 0}[/mm]
>
>
>
> [mm]\underbrace{\to}_{Gauss}[/mm] ....
>
> [mm]\pmat{ \red{10} & 0 & 0 & 30 &-7 &|0\\ 0 &\red{10} &0 &-20 &9 & |0 \\ 0& 0 &\red{-5} &-5 &2 &|0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | 0}[/mm]
>
> Jetzt haben wir eine Zeilen-Stufenform (rot markiert). Die
> Vekotoren v, die du in diese Spalte anfangs eingetragen
> hast, sind linear unabhängig [mm](v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind demnach
> linear unabhängig.)
>
> [mm]v_4[/mm] und [mm]v_5[/mm] sind linearkombinationen aus [mm]v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3:[/mm]
>
> [mm]a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3=a_1*\vektor{1 \\3\\ 0\\ 2}+a_2*\vektor{3\\ 9 \\2 \\8}+a_3*\vektor{5 \\10 \\7 \\12}=\vektor{2\\ 1 \\3 \\2}=v_4[/mm]
> für [mm]a_1=3, a_2=-2[/mm] und [mm]a_3=1[/mm]
>
>
> [mm]a_1*v_1+a_2*v_2+a_3*v_3=a_1*\vektor{1 \\3\\ 0\\ 2}+a_2*\vektor{3\\ 9 \\2 \\8}+a_3*\vektor{5 \\10 \\7 \\12}=\vektor{0 \\2 \\-1\\ 1}=v_5[/mm]
> für [mm]a_1=-\bruch{7}{10}, a_2=\bruch{9}{10}[/mm] und
> [mm]a_3=-\bruch{2}{5}[/mm]
>
ok so habe ich das verstanden. und daraus kann ich jetzt folgern, dass die vektoren nicht alle voreinander unabhängig sind. Doch was mich jetzt nich irritiert: was bringt mir die rumrechnerei wenn laut deinem hinweis in R4 höchstens 4 vektoren linear unahhängig voneinander sein können von diesem standpunkt aus kann ich doch direkt darauf schließen dass sie kein erzeugendensystem des R4 sind?!? oder verstehe ich das falsch?
lg und vielen,vielen dank für die mühe!!!!!!
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> > Ein weiterer wichtiger Hinweis: Im [mm]\IR^n[/mm] können höchsten n
> > Vektoren linear unabhängig sein.
> >
> > Sprich in deinem Fall: [mm]v_i\in\IR^4[/mm] können höchstens vier
> > Vektoren [mm]{v_i\in\IR^4, i=1,..,4}[/mm] linear unabhängig sein.
>
> wenn man das weiß, dass kann man ja von vorneherein sagen,
> dass die 5 vektoren nich alle linear unabhängig voneinander
> sein können
Hallo,
ja, das weiß man von vornherein, denn der [mm] \IR^4 [/mm] hat die Dimension 4, was u.a. bedeutet, daß eine maximale linear unabhängige Teilmenge aus 4 Vektoren besteht.
> es also kein erzeugendensystem sein kann?
> oder?
Dieser Schluß allerdings ist verkehrt.
WENN unter diesen 5 Vektoren 4 linear unabhängige sind, erzeugen die sehr wohl den [mm] \IR^4. [/mm]
> > [mm]\pmat{ \red{10} & 0 & 0 & 30 &-7 &|0\\ 0 &\red{10} &0 &-20 &9 & |0 \\ 0& 0 &\red{-5} &-5 &2 &|0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | 0}[/mm]
>
> >
> > Jetzt haben wir eine Zeilen-Stufenform (rot markiert). Die
> > Vekotoren v, die du in diese Spalte anfangs eingetragen
> > hast, sind linear unabhängig [mm](v_1,v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] sind demnach
> > linear unabhängig.)
Die Zeilenstufenform sagt uns: der Rang der Matrix ist 3.
Das bedeutet: die 5 Vektoren erzeugen nur einen Raum der Dimension 3.
Also erzeugen sie nicht den [mm] \IR^4.
[/mm]
Aber wenn der Rang der Matrix 4 gewesen wäre, wäre in der Menge der 5 Vektoren eine Basis enthalten gewesen, also ein minimales Erzeugendensystem, und die 5 Vektoren wären dann eben ein (nicht minimales) Erzeugendensystem.
Ein Erzeugendensystem, in welchem man auf eien der vektoren würde verzichten können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 So 11.11.2007 | | Autor: | bonni |
achso-das klingt logisch... jetzt hab ich alles verstanden!!
ist echt der wahnsinn, dass man hier so geholfen bekommt. manchmal fehlt einem einfach ein kleiner denkanstoß in die richtige richtung!!!
danke für eure mühe!!!
liebe grüße
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