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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Der mittlere jährliche Mittelwasser-Durchflusswert und die zugehörigte empirische Standardabweichung eines bestimmten Alpenflusses (jeweils in [mm] \bruch{m^3}{s}), [/mm] gemssen über n=41 Jahre, ergaben
[mm] \overline{x}_n=3.53 [/mm] bzw. [mm] s_n=0.11
[/mm]
Unter der Annahme, dass der jährliche Mittelwasser-Durchflusswert X normalverteilt ist mit [mm] \IE X=\mu...
[/mm]
...sei [mm] \underline{X}=(X_1,...,X_n) [/mm] eine zu X gehörige mathematische Stichprobe vom Umfang n. Man zeige, dass das Stichprobenmittel [mm] \overline{X}_n=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] ein erwartungstreuer und (schwach) konsistenter Schätzer für [mm] \mu=\IE [/mm] X ist. |
Hallo, ich weiß nicht wirklich, was ich hier machen soll. Ich mein, das es erwartungstreu ist, ist klar, wegen der Linearität des Erwartungswerts. Aber konsistent?
D.h. doch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}P(|\overline{X}_n-\mu|>\epsilon)=0 [/mm] soll für alle [mm] \epsilon [/mm] gelten. Aber wie zeig ich das?
Danke schonmal,
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Hallo,
> Der mittlere jährliche Mittelwasser-Durchflusswert und die
> zugehörigte empirische Standardabweichung eines bestimmten
> Alpenflusses (jeweils in [mm]\bruch{m^3}{s}),[/mm] gemssen über
> n=41 Jahre, ergaben
> [mm]\overline{x}_n=3.53[/mm] bzw. [mm]s_n=0.11[/mm]
> Unter der Annahme, dass der jährliche
> Mittelwasser-Durchflusswert X normalverteilt ist mit [mm]\IE X=\mu...[/mm]
>
> ...sei [mm]\underline{X}=(X_1,...,X_n)[/mm] eine zu X gehörige
> mathematische Stichprobe vom Umfang n. Man zeige, dass das
> Stichprobenmittel
> [mm]\overline{X}_n=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] ein
> erwartungstreuer und (schwach) konsistenter Schätzer für
> [mm]\mu=\IE[/mm] X ist.
> Hallo, ich weiß nicht wirklich, was ich hier machen soll.
> Ich mein, das es erwartungstreu ist, ist klar, wegen der
> Linearität des Erwartungswerts. Aber konsistent?
> D.h. doch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}P(|\overline{X}_n-\mu|>\epsilon)=0[/mm]
> soll für alle [mm]\epsilon[/mm] gelten. Aber wie zeig ich das?
Deine Idee mit dem Erwartungswert müsste so richtig sein.
Konsistenz zeigt man bei solchen Aufgaben meistens mit dem Schwachen Gesetz der großen Zahlen, das aussagt: Der Mittelwert geht stochastisch gegen den Erwartungswert:
[mm] $\overline{X_{n}} \overset{P}{\to} [/mm] E(X)$
manchmal in Verbindung mit dem CMT (hier aber nicht). Dieses besagt (unter anderem)
[mm] $X_{n} \overset{P}{\to} [/mm] X [mm] \Rightarrow g(X_{n})\overset{P}{\to} [/mm] g(X)$,
wenn g stetig.
Grüße,
Stefan
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