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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - erw. Matrix in NZSF R^(5,3)
erw. Matrix in NZSF R^(5,3) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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erw. Matrix in NZSF R^(5,3): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Fr 20.11.2009
Autor: loldroid

Matrix [mm] B1=\pmat{ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 2 & 2 & 0 & 8 \\ -1 & 2 & 0 & 2 } [/mm]
Vektor [mm] c1=\vektor{2 \\ 2 \\ -4} [/mm]

Bestimmen Sie die normierte Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix [B1|c1]!

ich krieg es nicht hin die erw. Koeffizientenmatrix in die NZSF umzuwandeln : / wäre nett wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann. Ich schaff es nicht Kopfvariablen richtig zu errechnen.
      
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
erw. Matrix in NZSF R^(5,3): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Fr 20.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Matrix [mm]B1=\pmat{ 0 & -2 & 0 & -4 \\ 2 & 2 & 0 & 8 \\ -1 & 2 & 0 & 2 }[/mm]
>  
> Vektor [mm]c1=\vektor{2 \\ 2 \\ -4}[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die normierte Zeilenstufenform der
> erweiterten Koeffizientenmatrix [B1|c1]!
>  
> ich krieg es nicht hin die erw. Koeffizientenmatrix in die
> NZSF umzuwandeln : / wäre nett wenn mir jemand auf die
> Sprünge helfen kann. Ich schaff es nicht Kopfvariablen
> richtig zu errechnen.

Hallo,

[willkommenmr].

Zeig doch in Zukunft, was Du getan hast.
Wenn man weiß, wo es hakt, kann man besser helfen.

Ich würde erstmal die 1. und 3. Zeile tauschen:

[mm] \pmat{ 0 & -2 & 0 & -4 &|2\\ 2 & 2 & 0 & 8 &|2\\ -1 & 2 & 0 & 2&|-4 } [/mm] --> [mm] \pmat{ -1 & 2 & 0 & 2&|-4\\ 2 & 2 & 0 & 8 &|2\\0 & -2 & 0 & -4 &|2 } [/mm] ,

Dann zur 2. das Doppelte der ersten Zeile addieren:

--> ...

Dann?

--> ...



Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
erw. Matrix in NZSF R^(5,3): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 21.11.2009
Autor: loldroid

Matrix [mm] B1=\pmat{ -1 & 2 & 0 & 2 & | -4 \\ 2 & 2 & 0 & 8 & | 2 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & | 2 } [/mm]


2. = 2. + 2*1.
Matrix [mm] B1=\pmat{ -1 & 2 & 0 & 2 & | -4 \\ 0 & 6 & 0 & 12 & | -6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & | 2 } [/mm]

1. = 1. + 2.
Matrix [mm] B1=\pmat{ -1 & 0 & 0 & -2 & | -2 \\ 0 & 6 & 0 & 12 & | -6 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & | 2 } [/mm]

2. = 2. + 2*3.
Matrix [mm] B1=\pmat{ -1 & 0 & 0 & -2 & | -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & -2 & 0 & -4 & | 2 } [/mm]

1. = 1./-1; 2. = 2./-2
Matrix [mm] B1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | -1 } [/mm]

soweit komme ich..



Bezug
                        
Bezug
erw. Matrix in NZSF R^(5,3): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Sa 21.11.2009
Autor: angela.h.b.


>  Matrix [mm]B1=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & | 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & | -1 }[/mm]
>  
> soweit komme ich..

Hallo,

jetzt tauschen wir noch, und haben damit die reduzierte ZSF dastehen: [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 0 & 2 & | 2 \\ 0 &\red{1} & 0 & 2 & | -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 } [/mm]

Wir stellen fest: Der Rang der Koffizientenmatrix =2, ebenso der rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (mit der Spalte rechts).
Also ist das GS lösbar.

Die führenden Zeilenelemente sind in der 1. und 2. Spalte, also können wir die 3.und 4. variable frei wählen:

[mm] x_4=t [/mm]
[mm] x_3=s, [/mm]

[mm] r,s\in \IR [/mm]

Der 2. Spalte entnehmen wir

[mm] x_2=-1-2x_4=-1-2t, [/mm]

aus der ersten:

[mm] x_1=2-2x_4=2-2t. [/mm]

Damit haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{2-2t\\-1-2t\\s\\t}=\vektor{2\\-1\\0\0}+t\vektor{-2\\-2\\0\\1} +s\vektor{0\\0\\1\\0}. [/mm]

Achso - ich hab gerade gesehen, daß die Lösungen gar nciht gefragt sind. Na, schaden tun sie ja nicht.





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