erneut: Stetigkeit in normierten VR < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Di 15.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
Ich habe noch eine andere Frage zu normierten VR.
In VR der reellen Zahlen sind alle Normen äquivalent.
Das scheint also nicht für andere Räume zu gelten.
Wenn ich mir doch dann mal den VR der stetigen Funktionen auf [a,b] anschaue bezüglich der [mm] ||f||_2 [/mm] Norm und der Maximumsnorm.
Dann müsste es doch ein c aus den reelen Zahlen geben mit:
[mm] ||f||_2 [/mm] < c * MaxNorm(f) für alle f aus C[a,b],oder evtl für die andere Richtung.
Nur, wie kann man ein solches c finden und zeigen, dass es für dieses c für alle f gilt?
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Di 15.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Einen Beweis der Tatsache, dass ein kein $C>0$ mit
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty} \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] f [mm] \Vert_2$
[/mm]
für alle $f [mm] \in [/mm] C([a,b])$ gibt, findest du hier von mir (ähhh.. von Julius, ich will dem armen Jungen nicht Unrecht tun, sonst schimpft er noch mit mir...  ):
https://matheraum.de/read?f=16&t=454&i=472&mark1=%24C%24
So, die andere Seite ist aber relativ trivial. Es gilt nämlich für alle $f [mm] \in [/mm] C([a,b])$:
[mm]\left( \int\limits_a^b |f(x)|^2 dx \right)^{1/2}[/mm]
[mm]\le \left[ \left( \sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)|\right)^2 \cdot \int_a^b 1 dx \right]^{1/2}[/mm]
[mm] = \sqrt{b-a} \cdot \Vert f \Vert_{\infty}[/mm].
Mit [mm] $C:=\sqrt{b-a}>0$ [/mm] folgt also für alle $f [mm] \in [/mm] C([a,b])$ die Ungleichung:
[mm] $\Vert [/mm] f [mm] \Vert_2 \le [/mm] C [mm] \cdot \Vert [/mm] f [mm] \Vert_{\infty}$.
[/mm]
Melde dich einfach wieder bei (Nach-)Fragen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Di 15.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Den gleichen Ansatz hatte ich auch.
Nr ich kam nicht auf die erste Abschätzung. KAnnst Du mir erklären, warum ich diese machen kann, denn im Skript sit keine Bez. über beide aufgeführt.
> [mm]\left( \int\limits_a^b |f(x)|^2 dx \right)^{1/2}[/mm]
>
> [mm]\le \left[ \left( \sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)|\right)^2 \cdot \int_a^b 1 dx \right]^{1/2}[/mm]
Erläutere mir das bittemal!
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo [mm] $\sqrt{\pi}$!
[/mm]
Da gibt es nicht viel zu erläutern.
Nach Definition des Supremums gilt für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$:
$|f(x)| [mm] \le \sup\limits_{x \in [a,b]} [/mm] |f(x)|$,
also auch:
[mm] $|f(x)|^2 \le \left( \sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)| \right)^2$.
[/mm]
Aus der Monotonie des Integrals folgt:
[mm] $\int_a^b |f(x)|^2 [/mm] , dx [mm] \le \int_a^b \left( \sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)| \right)^2 [/mm] dx$.
Beachtet man nun noch, dass aus der Linearität des Integrals (denn [mm] $\left(\sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)|\right)^2$ [/mm] ist ja ein (von $x$ unabhängiges) Skalar und kann daher vor das Integral gezogen werden)
[mm] $\int_a^b \left( \sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)| \right)^2 [/mm] dx = [mm] \left(\sup\limits_{x \in [a,b]} |f(x)| \right)^2 \int_a^b 1\, [/mm] dx$
folgt, dann ist man schon fertig mit der Erläuterung.
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Jo,
alles klar jetzt!
Vielen Dank.
Gruss,
Wurzelpi
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