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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Di 25.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Sei [mm] $B=\{\vec{e1},\vec{e2},\vec{e3}\}$ [/mm] und sei [mm] $\vec{u}= \vektor{4 \\ 2\\ 0}_{B}$.Ermitteln [/mm] Sie zu [mm] \vec{u} [/mm]
eine Orthonormalbasis der Form B_strich = [mm] \{\vec{v^0},\vec{v},\vec{w}\} [/mm] |
Als aller erstet frohe Weihnachten!!!!
ik habe leider viel zu wenig anhung von den Vektoren :-(
und die aufgabenstellung kapiere ich nicht wirklich.
vl kann mir eienr auf die spünge helfen?
mfg
masa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 Di 25.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
also die Vektoren \{\vec{u^{0}} , \vec{v} ,\vec{w}\}
sind Orthogonal daher ist deren Produkt = 0
1. $\vec{u^{0}} * \vec{v} = 0$
2. $\vec{u^{0}} * \vec{w} = 0$
3. $\vec{v}} * \vec{w} = 0$
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\vec{v} und \vec{w} sind unbekannt
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$\vec{u^{0}}= \bruch{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \bruch{\vektor{4 \\ 2 \\ 0}}{\wurzel{4^2 + 2^2 +0^2}}= \bruch{1}{\wurzel{20}} * \vektor{4 \\ 2 \\ 0}$
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da beim \vec{u^{0}} die z-Koordinate 0 ist läst sich vermuten das $\vec{w} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1} $ ist.
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Probe mit der 2-ten Gleichung:
$\vec{u^{0}} * \vec{w} = 0$
$ \bruch{1}{\wurzel{20}}* \vektor{4 \\ 2 \\ 0} * \vektor{0 \\ 0 \\ 1} = \bruch{4}{\wurzel{20}} * 0 + {\bruch{2}{\wurzel{20}} * 0 }+ \bruch{0}{\wurzel{20}} * 1 = 0$ ( es stimmt )
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zu der Gleichung 1.
$\vec{u^{0}} * \vec{v} = 0$
\vec{v} ist immer noch unbekannt \vec{v} = \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}
aus der gleichung muss sich ergeben:
$\wurzel{20} = \wurzel{4*5} = 2\wurzel{5}$
$ \bruch{1}{2\wurzel{5}}* \vektor{4 \\ 2 \\ 0} * \vektor{x1 \\ x3 \\ x3} = \bruch{4}{2\wurzel{5}}} * x1 + {\bruch{2}{2\wurzel{5}} * x2 }+ \bruch{0}{2\wurzel{5}} * x3 = 0$
$=\bruch{2}{\wurzel{5}}} * x1 + {\bruch{1}{\wurzel{5}} * x2 }$ $=> x1 = \bruch{-x2}{2} $ $=> x2 = -2*x1 $
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und aus der 3ten Gleichung läst sich \vec{e3} des vektor \vec{v} rauszaubern den:
$\vec{v}} * \vec{w} = 0$
$\vektor{x1 \\ x2 \\ x3} * \vektor{0 \\ 0 \\ 1} = 0* x1 + 0*x2 + 1*x3 = 0 $ $=> x3= 0$
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somit sind alle vektoren komplett:
$\vec{u^{0}} = \bruch{1}{2\wurzel{5}}* \vektor{4 \\ 2 \\ 0}$
$\vec{w} = \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
$\vec{v} = \vektor{\bruch{-x2}{2} \\ -2*x1 \\ 0}$
bilden diese Vektoren nun diese Orthonormal basis ???
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Hallo!
Ja, im Großen und Ganzen hast du die Aufgabe gelöst, wenngleich ich dazu ein paar Anmerkungen habe.
Die Idee mit [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] ist sehr gut, der Beweis, daß der paßt, ist eigentlich schon so trivial, daß du das nicht zeigen mußt.
Dann kannst du aber auch auf den zweiten Vektor kommen. Da dieser rechtwinklig zu [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] sein soll, muß die 3. Komponente 0 sein. Dann soll er zum ersten Vektor rechtwinklig sein, was auf [mm] 4x_1+2x_2=0 [/mm] führt. EINE Lösung wäre [mm] x_1=-2 [/mm] und [mm] x_2=+4 [/mm] . Damit bist du fast fertig!
Letztendlich ist das grade nur ein zweidimensionales Problem, und da kannst du dir merken, wie man sich einen rechtwinkligen Vektor bastelt: Vertausche die beiden Komponenten, und drehe bei EINEM das Vorzeichen um.
Aber weiter mit deiner Rechnung:
Du hast da zwei Formeln [mm] x_1=... [/mm] und [mm] x_2=... [/mm] angegeben, und beide etwas verquert in den Vektor eingesetzt. Du müßtest daraus eher sowas wie [mm] \vektor{x_1\\-2x_1\\0} [/mm] machen, denn das besagt das Gleichungssystem: Wähle ein beliebiges [mm] x_1, [/mm] das [mm] x_2 [/mm] läßt sich daraus berechnen.
Was dir noch fehlt, ist die Normierung dieses Vektors. Dazu bestimmst du entweder [mm] x_1 [/mm] , oder du setzt für [mm] x_1 [/mm] irgendwas ein, und normierst dann ganz normal.
Dann nochwas zur Normierung: Du schleppst diesen Normierungsfaktor für u die ganze Zeit in deinen Rechnungen mit. Das bringt nix, außer unübersichtlichen Rechnungen. In deinem Fall würde ich zunächst nur orthogonale Vektoren suchen, und zuletzt die Normierung durchführen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Do 27.12.2007 | | Autor: | masa-ru |
Danke Event_Horizon.
ich habe zuvor nie was mit vektoren zun gehabt... deshalb mach ich noch haufen unnötigen sachen ^^, aber danke für den tipp 
mfg
masa
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