epsilon-delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Di 18.12.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Verwenden Sie das epsilon-delta Kriterium der Stetigkeit, um zu zeigen, dass die folgenden Funktionen stetig sind:
a) f : [a, b] -> [c, d] eine beliebige bijektive, monoton wachsende Funktion zwischen abgeschlossenen reellen Intervallen. |
Hallo,
y>x [mm] \gdw [/mm] f(y) >f(x), |y-x| < [mm] \delta, [/mm] |f(y)-f(x)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
|f(y)-f(x)|=f(y)-f(x)=
An dieser Stelle habe ich zwei Ideen mit beiden finde ich aber noch nicht den Weg zum Ziel.
(1) Verwenden der Unterfunktion, auf Grund der bijektivität.
(2) Setze y=max ([a, b]) und x= min( [a, b])
Ich müsste einen Weg finden die Aussage in Richtung „y-x“ abzuschätzen um das [mm] \delta [/mm] in Spiel zu bringen, damit ich ein Epsilon in Abhängigkeit von [mm] \delta [/mm] finden kann.
Daher mein Frage ist wie komme ich von "f(y) - f(x)"
auf "y-x" ?
Danke
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Hallo,
versuch mal einen indirekten Beweis. Also: nehmen wir an, dass f nicht stetig ist. Dann folgt aus dem eps-delta Kriterium, dass es ein [mm] x\in [/mm] [a,b] und [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt sodass gilt:
für alle [mm] n\in\IN [/mm] gibt es [mm] x_{n}\in [/mm] [a,b] sodass [mm] |x-x_n|<\bruch{1}{n} [/mm] aber [mm] |f(x)-f(x_n)|>\epsilon.
[/mm]
Es gibt entweder unendlich viele n sodass [mm] x_n>x [/mm] oder unendlich viele n sodass [mm] x_n
Nehemn wir an, dass [mm] x_n>x [/mm] für unendlich viele n. Nun gilt sicher [mm] x_n\to [/mm] x wenn [mm] n\to\infty. [/mm] Jetzt folgt aber (wegen monotonie), dass $f$ keinen wert im Intervall [mm] (f(x),f(x)+\epsilon) [/mm] annimmt, und das ist ein Widerspruch zur Bijekivität.
lg rafael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Di 18.12.2012 | | Autor: | Expo |
Vielen Dank
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