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| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium dass die Wurzelfunktion
[mm] \wurzel{} [/mm] : [0, [mm] \infty [/mm] [ [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \to \wurzel{x}
[/mm]
stetig ist. |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich weiß einfach nicht wie ich hier vorgehen soll. Das Kriterium besagt ja, dass man zu jedem beliebig vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] finden soll, so dass die folgende Implikation erfüllt ist:
|x - a| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wenn das nun möglich ist, zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein solches [mm] \delta [/mm] zu finden, dann ist die Funktion im Punkt a stetig.
Aber wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor? Ich weiß, dass das [mm] \delta [/mm] von [mm] \varepsilon [/mm] und vom a abgängt, aber ich weiß nicht wie ich das benutzen kann um zu zeigen, dass es immer ein [mm] \delta [/mm] gibt egal wie groß [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Kann mir hier jemand weiterhelfen. Wäre super...
Viele Grüße,
das schlumpfinchen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Mo 23.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir zeigen die Stetigkeit in a [mm] \in \IR:
[/mm]
Fall 1: a = 0. Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon^2
[/mm]
Ist dann |x| < [mm] \delta, [/mm] so ist [mm] |\wurzel{x}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Fall 2: a > 0.
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{a}| [/mm] = [mm] \bruch{|x-a|}{\wurzel{x}+\wurzel{a}} \le \bruch{|x-a|}{\wurzel{a}}
[/mm]
Sei Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon \wurzel{a}
[/mm]
Ist dann |x-a| < [mm] \delta, [/mm] so ist [mm] |\wurzel{x}-\wurzel{a}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
FRED
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Hallo,
vielen Dank für deine Antwort. Habe trotzdem noch Unklarheiten. Ich kann jetzt zwar nachvollziehen, dass das stimmt, was du geschrieben hast. Allerdings ist mir noch nicht klar, wie man darauf kommt. Ich verstehe z. B. nicht so ganz, wie man von der folgenden Ungleichung
[mm]|\wurzel{x}-\wurzel{a}|[/mm] =
[mm]\bruch{|x-a|}{\wurzel{x}+\wurzel{a}} \le \bruch{|x-a|}{\wurzel{a}}[/mm]
darauf schließen kann, dass [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon \wurzel{a} [/mm] ist. Kann mir vielleicht nochmal jemand auf die Sprünge helfen?
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> Hallo,
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> vielen Dank für deine Antwort. Habe trotzdem noch
> Unklarheiten. Ich kann jetzt zwar nachvollziehen, dass das
> stimmt, was du geschrieben hast. Allerdings ist mir noch
> nicht klar, wie man darauf kommt. Ich verstehe z. B. nicht
> so ganz, wie man von der folgenden Ungleichung
>
> [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{a}|[/mm] =
>
> [mm]\bruch{|x-a|}{\wurzel{x}+\wurzel{a}} \le \bruch{|x-a|}{\wurzel{a}}[/mm]
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> darauf schließen kann, dass [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon \wurzel{a}[/mm]
> ist. Kann mir vielleicht nochmal jemand auf die Sprünge
> helfen?
>
Hallo,
das, was da oben steht, ist eine Schmierzettelrechnung.
Du bist ja erst noch auf der Suche danach, wie Du [mm] \delta [/mm] wählen mußt, damit alles schön paßt.
Es war ja x so, daß [mm] |x-a|<\delta.
[/mm]
Also bekommst Du aus Obigem
> [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{a}|[/mm] =
>
> [mm]\bruch{|x-a|}{\wurzel{x}+\wurzel{a}} \le \bruch{|x-a|}{\wurzel{a}}[/mm]
[mm] <\bruch{\delta}{\wurzel{a}}.
[/mm]
Nun wünschst Du Dir doch, daß das [mm] <\varepsilon [/mm] ist. Daher überlegst Du Dir jetzt, wie [mm] \delta [/mm] beschaffen sein kann, damit [mm] <\varepsilon [/mm] herauskommt.
Geheimrechnung [mm] :\bruch{\delta}{\wurzel{a}} <\varepsilon ==>\delta [/mm] < [mm] \varepsilon \wurzel{a} [/mm] .
So, und jetzt machst Du's wie Dein Prof. und schreibst alles schön von vorne hin:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Für (z.B.) [mm] \delta:= \bruch{\varepsilon \wurzel{a} }{2} [/mm] gitl: ... hier rechnest Du nun vor, wie herrlich alles klappt.
Man tut also nur so, als sei das gewählte [mm] \delta [/mm] einem von den Engeln geflüstert, in Wahrheit ist es das Ergebnis haarscharfen Nachdenkens. Wenn's wirklich von den Engln käme, wäre es aber genauso gut. Hauptsache, das [mm] \delta [/mm] funktioniert.
Gruß v. Angela
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Hallo angela,
vielen Dank erstmal. Muss nochmal ein bißchen drüber nachdenken!
viele Grüße. Das schlumpfinchen.
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