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moin,
Auf einem Übungsblatt hatte ich folgende Aufgabe:
| Aufgabe 1 | Seien $K,L$ endliche Körper und $K [mm] \subseteq [/mm] L$.
Zeigen Sie, dass ein [mm] $\alpha \in [/mm] L$ existiert mit [mm] $K[\alpha] [/mm] = L$. |
Diese hab ich bereits wie folgt gelöst:
Da $L$ endlich ist, ist $E(L)$ (die Einheitengruppe des Körpers $L$) zyklisch.
Nehmen wir uns einen Erzeuger [mm] $\alpha$, [/mm] so ist (nachrechnen) $L = [mm] K[\alpha]$.
[/mm]
Die Frage, die sich nun gestellt hat, ist: Gilt auch die Umkehrung?
Also gilt folgende Aussage:
| Aufgabe 2 | | Sei $K$ ein endlicher Körper und $L = [mm] K[\alpha]$ [/mm] für ein [mm] $\alpha \not\in [/mm] K$, das algebraisch über $K$ ist. Dann wird die Einheitengruppe von $L$ von [mm] $\alpha$ [/mm] erzeugt. |
Man muss hier [mm] $\alpha \not\in [/mm] K$ nehmen, denn sonst könnte man etwa die 1 zu $K$ adjungieren und hätte ein Gegenbeispiel.
Überdies sollte [mm] $\alpha$ [/mm] natürlich algebraisch über $K$ sein, damit $L$ endlich und ein Körper wird.
Leider fällt mir hier überhaupt nicht ein, wie ich die Aussage zeigen könnte.
Alle bisherigen Versuche sind gescheitert, in erster Linie daran, dass ich keine wirkliche Aussage über $|E(L)| = [mm] p^m [/mm] -1$ für eine Primzahl $p$ und ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] treffen kann, insbesondere weiß ich nicht welche Teiler diese Zahl alles hat (die müsste ich ja als Elementordnungen für [mm] $\alpha$ [/mm] ausschließen).
Es wäre deshalb nett, wenn mir jemand (der die Aussage vielleicht kennt?) wenigstens sagen könnte ob sie stimmt oder ob ich mich auf die Suche nach einem Gegenbeispiel machen sollte; gegen ein paar Tipps hätte ich natürlich auch nichts einzuwenden.^^
thx schonmal.
lg
Schadow
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So, eine Nacht drüber zu schlafen hilft einem echt die trivialsten Lösungen zu sehen:
Mit der klassischen Notation $i := [mm] \sqrt{-1}$ [/mm] gilt $i [mm] \not\in \IZ_7$. [/mm] Definiere $L := [mm] \IZ_7[i]$, [/mm] dann ist $|E(L)|=48$, aber $ord(i) = 4 [mm] \neq [/mm] 48$, damit insbesondere $E(L) [mm] \neq \langle [/mm] i [mm] \rangle$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Di 03.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow,
ich seh das erst jetzt, aber: ja, die Aussage gilt nicht 
> So, eine Nacht drüber zu schlafen hilft einem echt die
> trivialsten Lösungen zu sehen:
> Mit der klassischen Notation [mm]i := \sqrt{-1}[/mm] gilt [mm]i \not\in \IZ_7[/mm].
> Definiere [mm]L := \IZ_7[i][/mm], dann ist [mm]|E(L)|=48[/mm], aber [mm]ord(i) = 4 \neq 48[/mm], [/i][/mm]
> [mm][i]damit insbesondere [mm]E(L) \neq \langle i \rangle[/mm]. [/i][/mm]
Genau.
Allgemein geht das mit [mm] $\IF_q$ [/mm] mit $q [mm] \not\equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$ [/mm] und $q$ ungerade.
LG Felix
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