endliche teilüberdeckungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die folgenden Mengen sind nicht kompakt:
A:= [ 0, [mm] \infty [/mm] ) B:= [0,1) C:= [mm] \IQ \cap [/mm] [0,1]
Geben Sie für jede dieser Mengen eine offene Überdeckung an, die keine endliche teilüberdeckung enthält! |
Ich weiß einfach nciht genau wie ich an diese Aufgabe herangehen soll....
Kann ich bie A z.B. I= {-1/n; n} nehmen? Aber wie beweise ich dann, dass es keine endliche Teilüberdeckung ist...ALso bis jetzt habe ich nur den Ansatz, dass ich annehme, dass ich ein INtervall wegnehmen kann, und dann zu dem Widerspruch komme, dass A dann aber nicht mehr ganz überdeckt ist...Ich weiß nur nicht wie ich das hinschreiben soll...
Bei B liegt 1 nicht mehr in der Menge, heißt dass ich muss eine offene Überdeckung finden, die sich 1 annähert und dann zeigen, dass wenn ich 1 Intervall wegnehme, , die Überdeckung eben nicht mehr ganz so nah an 1 ist?
Ja und bei C habe ich leider garkeine Ahnung...
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A ist ganz leicht: Denke an eine Kette von offenen Mengen, die sich links und rechts jeweils nur ein wenig überschneiden - wenn man eine herausnimmt, dann ist es keine Überdeckung mehr. Ach ja, ganz links kannst du locker über die 0 hinaus ins Negative. Beispiel:
[mm]O_0 = (-1, 2)[/mm], [mm]O_1 = (1, 4)[/mm], ...
Bei der B solltest du zeigen, dass zu jeder endlichen Teilmenge von solchen offenen Mengen einen Punkt gibt, der zwar im Interval aber nicht mehr in der Teilmenge liegt - sprich, du musst versuchen eine Vorschrift anzugeben, wie man einen solchen Punkt findet.
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Und diese Verkettung von Mengen muss ich jetzt irgendwie mit Variablen angeben, oder?
also z.b. [mm] M=\cup [/mm] (i;i+2) [mm] i\in N\cup [/mm] {0}
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Um im obigen Beispiel zu bleiben:
[mm]O_i = (2i - 1, 2i+2) [/mm]
Der Trick ist ja, das das innere Drittel der jeweiligen Menge nur in dieser einen Menge liegt - lässt man diese Menge weg, hat man insgesamt keine Überdeckung mehr. Mach dir mal eine Zeichnung, dann wird dir alles klar.
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