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endliche summen: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 29.09.2006
Autor: LooZander

Aufgabe
rechne mit endlichen summen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm]

hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf sad richtige ergebnis!!

richtiges ergebnis soll sein: [mm] 2^{n}-1 [/mm]


mein ansatz:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm]
wegen indexverschiebung

jetzt kann ich die geometrische summenformel anwenden: [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] = [mm] \bruch{(1-a^{n})}{(1-a)} [/mm]

also: [mm] \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n}-1-\bruch{2^{n}}{2}+1=\bruch{1}{2}2^{n} [/mm]

das ist aber nicht das richtige ergebnis!
könnt ihr mir bite helfen

danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
endliche summen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 15:30 Fr 29.09.2006
Autor: M.Rex

Hallo

> rechne mit endlichen summen:
>  [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm]
>  
> hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf
> sad richtige ergebnis!!
>  
> richtiges ergebnis soll sein: [mm]2^{n}-1[/mm]
>  
>
> mein ansatz:
>  [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
>  
> wegen indexverschiebung

Korrekt.

jetzt kannst du die Summen in einer Summe schreiben.

[mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} -\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] 2^{k} [/mm]

Entweder sieht man jetzt schon, dass alles ausser [mm] 2^{n} [/mm] und -1 "heraussubtrahiert" wird.
Sonst
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] - [mm] 2^{k} [/mm]
[mm] =\red{2^{1}}-\green{2^{0}}+\red{2²}\red{-2^{1}}+2³\red{-2²}+\ldots+\red{2^{n-1}}-2^{n-1-1}+\green{2^{n-1+1}}\red{-2^{n-1}}. [/mm]


Es bleiben jetzt nur noch die grünen Terme [mm] \underbrace{2^{n+1+1}}_{=2^{n}}-\underbrace{2^{0}}_{=1} [/mm] übrig.

Marius

Bezug
                
Bezug
endliche summen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:41 Sa 30.09.2006
Autor: ullim


> Hallo
>  
> > rechne mit endlichen summen:
>  >  [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm]
>  >  
> > hallo.....hab schon alles versucht, komme aber nicht auf
> > sad richtige ergebnis!!
>  >  
> > richtiges ergebnis soll sein: [mm]2^{n}-1[/mm]
>  >  
> >
> > mein ansatz:
>  >  [mm]\summe_{k=1}^{n} 2^{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
>  >  
> > wegen indexverschiebung
>  
> Korrekt.
>  

Die letzte Summe ist nicht richtig, sondern [mm] \summe_{k=2}^{n-1} 2^{k} [/mm] währe richtig. Daraus sieht man auch sofort, das die ersten beiden Terme der ersten Summe übrigbleiben, also [mm] 2+2^n. [/mm]

> jetzt kannst du die Summen in einer Summe schreiben.
>  
> [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} -\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k}[/mm]
>  
> [mm]=\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]2^{k}[/mm]
>  
> Entweder sieht man jetzt schon, dass alles ausser [mm]2^{n}[/mm] und
> -1 "heraussubtrahiert" wird.
>  Sonst
>  [mm]\summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1}[/mm] - [mm]2^{k}[/mm]
>  
> [mm]=\red{2^{1}}-\green{2^{0}}+\red{2²}\red{-2^{1}}+2³\red{-2²}+\ldots+\red{2^{n-1}}-2^{n-1-1}+\green{2^{n-1+1}}\red{-2^{n-1}}.[/mm]
>  
>
> Es bleiben jetzt nur noch die grünen Terme
> [mm]\underbrace{2^{n+1+1}}_{=2^{n}}-\underbrace{2^{0}}_{=1}[/mm]
> übrig.
>  
> Marius

Bezug
        
Bezug
endliche summen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Fr 29.09.2006
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

im Endeffekt wurde ja im vorigen Post alles schon erklärt (bis auf die letzte Zeile, die eigentlich [mm] 2^{n+1-1} [/mm] - [mm] 2^0 [/mm] heissen müsste ;)

Nun noch zu deinem Fehler:  Die geometrische Summenformel gilt nur für a<1 und da 2 nicht kleiner 1 ist, kannst du die dann leider nicht anwenden.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
endliche summen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Fr 29.09.2006
Autor: LooZander

aber wieso kann man die geometrische summe nur für a<1 anwenden??
vor allem steht das nirgendwo!!! es steht immer nur für [mm] a\not=1 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
endliche summen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:59 Fr 29.09.2006
Autor: riwe

soweit ich mich erinnern, kann gilt sie auch für a > 1, nur divergiert sie für n [mm] \to\infty [/mm]

Bezug
                        
Bezug
endliche summen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Fr 29.09.2006
Autor: Sigrid

Hallo,

> aber wieso kann man die geometrische summe nur für a<1
> anwenden??
>  vor allem steht das nirgendwo!!! es steht immer nur für
> [mm]a\not=1[/mm]  

Du kannst sie anwenden. Probleme gibt es nur beim Grenzwert.

Nun noch mal zu deiner Rechnung:

> mein ansatz:
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n} 2^{k} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=1}^{n-2} 2^{k+1} [/mm] > $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm] $
> wegen indexverschiebung

Kann es sein, dass du bei der Aufgabenstellung einen Tippfehler hast? Diese Indexverschiebung kann ich nicht ganz nachvollziehen.

jetzt kann ich die geometrische summenformel anwenden: $ [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-a^{n})}{(1-a)} [/mm] $


Die Formel ist

$ [mm] \summe_{i=0}^{n}a^{i} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(1-a^{n+1})}{(1-a)} [/mm] $



> also: $ [mm] \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n}-1-\bruch{2^{n}}{2}+1=\bruch{1}{2}2^{n} [/mm] $

Hier achtest du auch nicht sorgfältig genug auf die Unterschiede zur Formel.

$ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} [/mm] $ - $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} 2^{k} [/mm] $

$ = 2 [mm] \cdot \bruch{1-2^{n}}{1-2}-\bruch{1-2^{n}}{1-2}= [/mm] 2 [mm] \cdot (2^{n}-1)-2^{n}+1=2^n [/mm] - 1 $

Gruß
Sigrid



Bezug
        
Bezug
endliche summen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 Fr 29.09.2006
Autor: ullim

Hi LooZander,

[mm] \sum_{k=1}^{n} 2^k [/mm] - [mm] \sum_{k=1}^{n-2} 2^{k+1}=2+2^n [/mm]

Also entweder ist in Deiner Aufgabenstrellung ein Fehler oder in Deiner Musterlösung.

mfg ullim

Bezug
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