endliche ringe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
moin,
Bei uns an der Uni wird ab dem kommenden Semester die Möglichkeit angeboten, in kleinen Studentengruppen und unter Betreuung eines Professors selbst ein wenig (wenn auch als Bachelorstudent wahrscheinlich nicht all zu spektakuläre) Forschung in der Mathematik zu betreiben.
Mit ein paar Freunden haben wir uns zusammen gesetzt und überlegt, woran wir gerne arbeiten würden.
Dabei sind wir immer wieder über die Tatsache gestolpert, dass für endliche Gruppen ja schon sehr viele Sätze Aussagen der folgenden Form erlauben:
"Sei $G$ eine endliche Gruppe mit $n$ Elementen. Dann enthält $G$ so und so viele Untergruppen einer bestimmten Ordnung, so und so viele Elemente einer bestimmten Ordnung, etc. und $G$ ist isomorph zu einer der folgenden Gruppen:"
Wir haben uns jetzt gefragt: Existiert eine ähnliche Theorie auch für endliche (kommutative) Ringe mit 1?
Also gibt es sowas wie Isomorphieklassen endlicher Ringe bzw. Überlegungen oder Methoden, um diese zu bestimmen?
Gibt es Sätze, die einem Aussagen über die Anzahl der Einheiten oder gewisser anderer Elemente mit einer besonderen Eigenschaft erlauben?
Wenn ja wäre das natürlich schade, aber schön zu wissen.
Wenn nein: Woran liegt das und hat man als Student, der bisher außer den Standardveranstaltungen nur Elementare Zahlentheorie, Computeralgebra und Algebra (insbesondere also noch nicht die Modultheorie, die es in der kommutativen Algebra gibt) gehört hat, überhaupt eine Chance da etwas zu zeigen?
Danke für Antworten
lg
Schadow
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Di 05.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bei uns an der Uni wird ab dem kommenden Semester die
> Möglichkeit angeboten, in kleinen Studentengruppen und
> unter Betreuung eines Professors selbst ein wenig (wenn
> auch als Bachelorstudent wahrscheinlich nicht all zu
> spektakuläre) Forschung in der Mathematik zu betreiben.
Das hoert sich doch schoen an :)
> Mit ein paar Freunden haben wir uns zusammen gesetzt und
> überlegt, woran wir gerne arbeiten würden.
> Dabei sind wir immer wieder über die Tatsache gestolpert,
> dass für endliche Gruppen ja schon sehr viele Sätze
> Aussagen der folgenden Form erlauben:
> "Sei [mm]G[/mm] eine endliche Gruppe mit [mm]n[/mm] Elementen. Dann enthält
> [mm]G[/mm] so und so viele Untergruppen einer bestimmten Ordnung, so
> und so viele Elemente einer bestimmten Ordnung, etc. und [mm]G[/mm]
> ist isomorph zu einer der folgenden Gruppen:"
>
> Wir haben uns jetzt gefragt: Existiert eine ähnliche
> Theorie auch für endliche (kommutative) Ringe mit 1?
> Also gibt es sowas wie Isomorphieklassen endlicher Ringe
> bzw. Überlegungen oder Methoden, um diese zu bestimmen?
Nunja, endliche Ringe sind insbesondere artinsch, und jeder artinsche Ring laesst sich als Produkt artinscher lokaler Ringe schreiben. Die lokalen Ringe haben Charakteristik [mm] $p^n$ [/mm] fuer eine Primzahl $p$, und alles ausserhalb des maximalen Ideals ist eine Einheit.
> Gibt es Sätze, die einem Aussagen über die Anzahl der
> Einheiten oder gewisser anderer Elemente mit einer
> besonderen Eigenschaft erlauben?
Wird schwierig :) Die lokalen Ringe koennen recht "wild" sein.
> Wenn nein: Woran liegt das und hat man als Student, der
> bisher außer den Standardveranstaltungen nur Elementare
> Zahlentheorie, Computeralgebra und Algebra (insbesondere
> also noch nicht die Modultheorie, die es in der
> kommutativen Algebra gibt) gehört hat, überhaupt eine
> Chance da etwas zu zeigen?
Hmm, gute Frage. Es wird definitiv schwer, und ohne Hilfe werdet ihr vermutlich nicht viel hinbekommen.
(Sorry, hab grad nicht mehr Zeit, deswegen antworte ich nur etwas knapp.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
So, jetzt wurde letzten Endes doch vom Dozenten ein Thema bestimmt:
| Aufgabe | Sie wuerden wahrscheinlich konkret am Rechner gewisse Objekte konstruieren
(z.B. dichte Gitter mit Codes und algebraischen Zahlen) aufbauend auf 1-2
Originalartikeln. |
Da ich über das Thema noch herzlich wenig weiß und doch gerne mehr machen würde als nur in den PC eintippen, ohne es zu verstehen:
Kann mir jemand gute Bücher/Standardwerke empfehlen, mit denen man sich in das Thema zumindest ein wenig einlesen könnte?
Wie gesagt habe ich neben den Standardsachen erst Computeralgebra, Algebra und elementare Zahlentheorie gehört; also bis auf die Namen habe ich von obigen Themen noch nicht sehr viel mitbekommen.
Ich soll Ende des Monats mit der Bearbeitung anfangen, also wenn jemand ein Buch kennt, das einem innerhalb von gut 2 Wochen einen guten Überblick über das Thema verschafft und ausreichende Grundkenntnisse vermittelt, wäre das echt super.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Do 07.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Schadow,
> So, jetzt wurde letzten Endes doch vom Dozenten ein Thema
> bestimmt:
>
> Sie wuerden wahrscheinlich konkret am Rechner gewisse
> Objekte konstruieren
> (z.B. dichte Gitter mit Codes und algebraischen Zahlen)
> aufbauend auf 1-2 Originalartikeln.
>
>
> Da ich über das Thema noch herzlich wenig weiß und doch
> gerne mehr machen würde als nur in den PC eintippen, ohne
> es zu verstehen:
> Kann mir jemand gute Bücher/Standardwerke empfehlen, mit
> denen man sich in das Thema zumindest ein wenig einlesen
> könnte?
> Wie gesagt habe ich neben den Standardsachen erst
> Computeralgebra, Algebra und elementare Zahlentheorie
> gehört; also bis auf die Namen habe ich von obigen Themen
> noch nicht sehr viel mitbekommen.
Hmm, ich wuerd mal in "Lattices and Codes" von Wolfgang Ebeling reinschauen. Dort sollte genuegend ueber Codes, Gitter und Gitter von algebraischen Zahlen drinnenstehen. (Ich habe in das Buch noch nie genauer reingeschaut, insofern weiss ich nicht wie "gut verdaulich" es ist...)
Je nach dem wie kurz & knapp es dir reicht, wuerde ich auch noch in das erste Kapitel vom Buch "Algebraische Zahlentheorie" von Neukirch schauen. Dort steht alles sehr knapp drinnen, aber wenn du es nur ueberfliegst (also Beweise weglassen bzw. nur ueberfliegen) solltest du eine gute Idee bekommen, wie Zahlkoerper und Ganzheitsringe aussehen und was das mit Gittern zu tun hat. (Der Neukirch ist nicht so gut verdaulich, aber alles wichtige steht kurz und knapp drinnen :) )
LG Felix
|
|
|
|
