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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 25.10.2020 | | Autor: | sync |
Hallo zusammen
Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\} [/mm] die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
Dazu nun einige Fragen:
1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?
Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette zwei Kommunikationsklassen
2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.
Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese Periodizität überhaupt definieren?
3. Finde die stationäre Verteilung
Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben
[mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
[mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
[mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
[mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
Wie kann ich diese Gleichungen lösen? Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1 und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Fr 30.10.2020 | | Autor: | meili |
Hallo sync,
> Hallo zusammen
>
> Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Sei [mm]S= \{0,\dots,n\}[/mm]
> die Zustände mit Wechselwahrscheinlichkeiten
> [mm]p_{i,i+1}=p,p_{i,i-1}=q, 1\le i\le n-1[/mm] mit [mm]p+q=1 , 0
> Zudem nehmen wir an, dass [mm]p_{0,1}=1,p_{N,N}=1 [/mm].
>
> Dazu nun einige Fragen:
>
> 1. Ist diese Markov Kette Irreduziebel?
>
> Ich würde nein sagen, da wenn ich in [mm]n[/mm] bin nicht mehr
> andere Zustände erreichen kann. Ebenso hat diese Kette
> zwei Kommunikationsklassen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Welche Perioden haben die Kommunikationsklassen.
>
> Hier bin ich schon etwas unsicher. Klar ist, dass der
> Zustan [mm]n[/mm] aperiodisch ist, also Periode [mm]1[/mm] hat. Aber die
> anderen Zustände sind ja transient. Kann man für diese
> Periodizität überhaupt definieren?
Ja, da sie transient sind, haben alle dieselbe Periode.
Vom Zustand i, $0 [mm] \le [/mm] i < n$ dauert es minimal 2 Zeiteinheiten bis i wieder erreicht ist,
deshalb ist die Periode in dieser Kommunikationsklasse 2.
>
> 3. Finde die stationäre Verteilung
>
> Für dies habe ich folgende Rekursion aufgeschrieben
>
> [mm]\pi_0 = (1-p)\pi_1[/mm]
> [mm]\pi_1 = \pi_0 + (1-p)\pi_2[/mm]
> [mm]\pi_i = q\pi_{i+1}+p\pi_{i-1}, 2\le i \le n-1[/mm]
>
> [mm]\sum_i\pi_i = 1[/mm]
> Wie kann ich diese Gleichungen lösen?
Wegen [mm] $p_{0,1}=1$ [/mm] ist auch [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$.
[/mm]
Die nächste Zeile ist: [mm] $\pi_0*p_{1,0}+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$.
[/mm]
Mit [mm] $p_{1,0}+p_{1,2} [/mm] = 1$: [mm] $\pi_0*(1-p_{1,2})+\pi_2*p_{1,2} [/mm] = [mm] \pi_1$.
[/mm]
Und mit [mm] $\pi_1 [/mm] = [mm] \pi_0$ [/mm] folgt [mm] $\pi_2 [/mm] = [mm] \pi_0$.
[/mm]
[mm]\pi_i = p_{i, i+1}*\pi_{i+1}+(1-p_{i, i+1})*\pi_{i-1}, \qquad 2\le i < n[/mm]
Damit folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \pi_0, \qquad 2\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
Und als letzte Zeile: [mm] $\pi_n [/mm] = [mm] \pi_n$
[/mm]
Mit [mm]\sum_{i=0}^n\pi_i = 1[/mm] folgt [mm] $\pi_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+n}, \qquad [/mm] 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$
> Wäre super, wenn ihr mir sagt, ob ich richtig liege mit 1
> und 2, resp ob man Periodizität auch auf transiente
> Zustände ausweiten kann. Hilfe bei 3 wäre super :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
meili
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