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| Aufgabe 1 | | Jede Untergruppe vom Index 2 in G(endliche Gruppe) ist normal in G. |
| Aufgabe 2 | | G ist genau dann abelsch, wenn die Abbildung G -> G; x -> x^-1(x Element G) ein Automorphismus von G ist. |
Bei Aufgabe 1 hab ich überhaupt keine Ahnung wie ich des beweisen soll. Und bei Aufgabe 2 hab ich die Rückrichtung schon, mir fehlt aber eine Idee für die Hinrichtung.
Könnt ihr mir irgendwie helfen??
MfG Uschi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 So 14.05.2006 | | Autor: | topotyp |
(2) Ist G abelsch, so gilt (*):
$$ [mm] (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\overset{*}{=}a^{-1}b^{-1}$$
[/mm]
also bezeichnet man mit [mm] $\phi: x\ra x^{-1}$ [/mm] diese Bijektion, dann ist
[mm] $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$, [/mm] also ein Morphismus.
Genau genommen sind beide Richtungen in einem Zug erledigbar.
(1) Ist H vom Index 2 in G, so bedeutet dass, dass es nur zwei
Nebenklassen [mm] $1\cdot [/mm] H$ und eine andere, nämlich
$aH$ (wo [mm] $a\in G\setminus [/mm] H$ beliebig) gibt, die verschieden sind.
Sei [mm] $h\in [/mm] H, [mm] x\in [/mm] G$ . ZZ ist [mm] $xhx^{-1}\in [/mm] H$.
1. Fall. [mm] $x\in [/mm] H$ ist trivial.
2. Fall [mm] $x\not\in [/mm] H$. Widerspruchsannahme: [mm] $xhx^{-1}\not\in [/mm] H$.
Dann stimmen die beiden Nebenklassen überein:
$xH = [mm] xhx^{-1}H$, [/mm] also gibt es [mm] $h'\in [/mm] H$ mit [mm] $x\cdot 1=xhx^{-1}h'$
[/mm]
also [mm] $x\in [/mm] H$, Widerspruch.
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