endl. Körper, char(K)=p < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$.
a) Man zeige, dass
[mm] $\sigma: K\to [/mm] K, [mm] x\mapsto x^p$
[/mm]
ein bijektiver Ringhomomorphismus ist.
b) Es sei [mm] $L:=\mathbb{F}_p/(X^p-X-1)$. [/mm] Man zeige, dass $L$ ein Körper ist und bestimme seine Kardinalität.
c) Man zeige, dass [mm] $\sigma^p(\alpha)=\alpha$ [/mm] gilt für alle [mm] $\alpha\in [/mm] L$ |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Aufgabenteil a) war einfach.
Zu zeigen ist, dass [mm] $\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$ [/mm] und [mm] $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$.
[/mm]
Es ist [mm] $\sigma(a+b)=(a+p)^p=a^p+b^p$, [/mm] da $char(K)=p$.
und [mm] $\sigma(ab)=(ab)^p=a^pb^p=\sigma(a)\sigma(b)$
[/mm]
Um zu zeigen, dass [mm] $\sigma$ [/mm] bijektiv ist, reicht es zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist. Weil $K$ endlich ist, folgt dann bereits die Behauptung.
Der Kern von [mm] $\sigma$ [/mm] ist offensichtlich einelementig mit [mm] $\{0\}$.
[/mm]
Zu b):
$L$ ist genau dann ein Körper wenn [mm] $(X^p-X-1)$ [/mm] ein maximales Ideal ist.
Da [mm] $\mathbb{F}_p$ [/mm] ein Körper ist, ist [mm] $\mathbb{F}_p[X]$ [/mm] ein Hauptidealring.
Deshalb ist [mm] $(X^p-X-1)$ [/mm] ein maximales Ideal, denn [mm] $X^p-X-1$ [/mm] ist irreduzibel.
Wie lässt sich die Kardinalität von $L$ bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 So 09.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]K[/mm] ein endlicher Körper der Charakteristik [mm]p[/mm].
>
> a) Man zeige, dass
>
> [mm]\sigma: K\to K, x\mapsto x^p[/mm]
>
> ein bijektiver Ringhomomorphismus ist.
>
> b) Es sei [mm]L:=\mathbb{F}_p/(X^p-X-1)[/mm]. Man zeige, dass [mm]L[/mm] ein
> Körper ist und bestimme seine Kardinalität.
>
> c) Man zeige, dass [mm]\sigma^p(\alpha)=\alpha[/mm] gilt für alle
> [mm]\alpha\in L[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Aufgabenteil a) war einfach.
>
> Zu zeigen ist, dass [mm]\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)[/mm] und
> [mm]\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)[/mm].
>
> Es ist [mm]\sigma(a+b)=(a+p)^p=a^p+b^p[/mm], da [mm]char(K)=p[/mm].
>
> und [mm]\sigma(ab)=(ab)^p=a^pb^p=\sigma(a)\sigma(b)[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass [mm]\sigma[/mm] bijektiv ist, reicht es zu
> zeigen, dass die Abbildung injektiv ist. Weil [mm]K[/mm] endlich
> ist, folgt dann bereits die Behauptung.
>
> Der Kern von [mm]\sigma[/mm] ist offensichtlich einelementig mit
> [mm]\{0\}[/mm].
In Ordnung.
>
> Zu b):
>
> [mm]L[/mm] ist genau dann ein Körper wenn [mm](X^p-X-1)[/mm] ein maximales
> Ideal ist.
> Da [mm]\mathbb{F}_p[/mm] ein Körper ist, ist [mm]\mathbb{F}_p[X][/mm] ein
> Hauptidealring.
> Deshalb ist [mm](X^p-X-1)[/mm] ein maximales Ideal, denn [mm]X^p-X-1[/mm]
> ist irreduzibel.
>
> Wie lässt sich die Kardinalität von [mm]L[/mm] bestimmen?
Über [mm] $\dim_{\IF_{p}}(L)$...
[/mm]
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[mm] $dim_{\mathbb{F}_p}(L)=dim_{\mathbb{F}_p}(\mathbb{F}_p[X]/(X^p-X-1))=dim_{\mathbb{F}_p}(\mathbb{F}_p[X])-dim_{\mathbb{F}_p}((X^p-X-1))$
[/mm]
Wenn man die Dimensionsformeln benutzt.
Und wie kann man die jeweiligen Dimensionen bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 09.10.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]dim_{\mathbb{F}_p}(L)=dim_{\mathbb{F}_p}(\mathbb{F}_p[X]/(X^p-X-1))=dim_{\mathbb{F}_p}(\mathbb{F}_p[X])-dim_{\mathbb{F}_p}((X^p-X-1))[/mm]
>
> Wenn man die Dimensionsformeln benutzt.
> Und wie kann man die jeweiligen Dimensionen bestimmen?
Auf der rechten Seite hast du zweimal [mm] $\infty$ [/mm] stehen. So kommst du also nicht weiter.
Man kann aber ganz allgemein sehr einfach [mm] $\dim_K [/mm] K[X]/(f)$ ausrechnen für $f [mm] \in [/mm] K[X]$, wenn $K$ ein Körper ist. Habt ihr sicher schonmal gehabt. Hat etwas mit [mm] $\deg [/mm] f$ zu tun.
LG Felix
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Ich bin nochmal das Skript durchgegangen, aber nicht fündig geworden.
Welchen Satz meinst du?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:41 Di 11.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
> Ich bin nochmal das Skript durchgegangen, aber nicht
> fündig geworden.
> Welchen Satz meinst du?
Vermutlich meint Felix folgenden Satz:
Sei $K$ ein Körper und [mm] $0\not=f\in [/mm] K[X]$. Dann gilt [mm] $\operatorname{dim}_K(K[X]/(f))=\operatorname{deg}(f)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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