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| Aufgabe 1 | Die Gleichung einer Ellipse lautet:
[mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$
[/mm]
Schreibe eine Formel für den Umfang einer Ellipse auf und forme das Integral in eine einfache Form um.
Das Integral heißt elliptisches Integral, weil es den Umfang einer Ellipse angibt. Die Integrandenfunktion ist nicht elementar integrierbar. |
| Aufgabe 2 | Das Lösungsbuch sagt:
Umfang einer Ellipse:
Die Ellipse [mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$ [/mm]
mit der numerischen Exzentrizität [mm] k=sin(\alpha)=\bruch{\sqrt{a^2-b^2}}{a}
[/mm]
hat den Umfang
[mm] U=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2sin^2(\varphi)}\,d \varphi=4aE\left(k;\bruch{\pi}{2}\right)
[/mm]
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Hallo,
mir ist etwas schleierhaft, wie man von
[mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$
[/mm]
[mm] $y=\sqrt{b^2-\bruch{b^2}{a^2}*x^2}=\bruch{b}{a}*\sqrt{a^2-x^2}$
[/mm]
[mm] $y'=\bruch{b}{a}*\bruch{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$
[/mm]
[mm] $s=2*\int_{-a}^{a}\sqrt{1+(y'(x))^2}\,dx=4*\int_{0}^{a}\sqrt{1+\bruch{b^2}{a^2}*\bruch{x^2}{a^2-x^2}}\,dx=4*\bruch{b}{a}*\int_{0}^{a}\sqrt{\bruch{a^2}{b^2}+\bruch{x^2}{a^2-x^2}}\,dx$
[/mm]
auf
[mm] U=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2sin^2(\varphi)}\,d \varphi=4aE\left(k;\bruch{\pi}{2}\right)
[/mm]
kommt - was wohl die Legendre-Form eines unvollständigen elliptischen Integrals der 1. Art sein soll.
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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> Die Gleichung einer Ellipse lautet:
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> [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> Schreibe eine Formel für den Umfang einer Ellipse auf und
> forme das Integral in eine einfache Form um.
>
> Das Integral heißt elliptisches Integral, weil es den
> Umfang einer Ellipse angibt. Die Integrandenfunktion ist
> nicht elementar integrierbar.
> Das Lösungsbuch sagt:
>
> Umfang einer Ellipse:
>
> Die Ellipse [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> mit der numerischen Exzentrizität
> [mm]k=sin(\alpha)=\bruch{\sqrt{a^2-b^2}}{a}[/mm]
>
> hat den Umfang
>
> [mm]U=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2sin^2(\varphi)}\,d \varphi=4aE\left(k;\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> Hallo,
>
> mir ist etwas schleierhaft, wie man von
>
> [mm]\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
> [mm]y=\sqrt{b^2-\bruch{b^2}{a^2}*x^2}=\bruch{b}{a}*\sqrt{a^2-x^2}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{b}{a}*\bruch{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}[/mm]
>
>
> [mm]s=2*\int_{-a}^{a}\sqrt{1+(y'(x))^2}\,dx=4*\int_{0}^{a}\sqrt{1+\bruch{b^2}{a^2}*\bruch{x^2}{a^2-x^2}}\,dx=4*\bruch{b}{a}*\int_{0}^{a}\sqrt{\bruch{a^2}{b^2}+\bruch{x^2}{a^2-x^2}}\,dx[/mm]
>
> auf
>
> [mm]U=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-k^2sin^2(\varphi)}\,d \varphi=4aE\left(k;\bruch{\pi}{2}\right)[/mm]
>
> kommt - was wohl die Legendre-Form eines unvollständigen
> elliptischen Integrals der 1. Art sein soll.
>
> Vielen Dank für einen Hinweis.
>
> LG, Martinius
Hallo Martinius,
ich denke, dass deine Idee, vom Kurvenlängenintegral in recht-
winkligen Koordinaten auszugehen und dieses dann in eines über
Polarkoordinaten umzuwandeln, in der Durchführung schwierig
wird, wie du ja schon festgestellt hast.
Besser ist es, gleich mit der Parameterdarstellung der Ellipse zu
beginnen. Den Winkel nenne ich der Einfachheit des Schreibens
halber lieber t anstatt [mm] \varphi [/mm] . Die Gleichung der Ellipse ist dann:
[mm] $\vektor{x\\y}(t)\ [/mm] =\ [mm] \vektor{a*cos(t)\\b*sin(t)}\qquad 0\le t\le 2*\pi [/mm] $
Wenn man die doppelte Axialsymmetrie der Ellipse nutzt, kann man
sich auf das Intervall [mm] 0\le t\le \frac{\pi}{2} [/mm] beschränken und das Ergebnis mit
4 multiplizieren. Jetzt brauchst du nur noch die richtige Formel
für die Bogenlänge in dieser Parameterdarstellung.
LG Al-Chwarizmi
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Hallo Al Chwarizmi,
besten Dank für die Antwort - dadurch bin ich der Lösung näher gekommen; ich habe aber noch folgendes Problem:
Die Parametergleichung für die Ellipse ist ja:
$ [mm] \vektor{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{a\cdot{}cos(t)\\b\cdot{}sin(t)}\qquad 0\le t\le 2\cdot{}\pi [/mm] $
Und ihre erste Ableitung:
$ [mm] \vektor{ \dot x(t)\\\dot y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{-a\cdot{}sin(t)\\b\cdot{}cos(t)}\qquad 0\le t\le 2\cdot{}\pi [/mm] $
Nun sagt meine Formelsammlung:
[mm] $s=\int [/mm] | [mm] \overrightarrow{\dot r} [/mm] | [mm] \;dt=\int \sqrt{\dot x^2 +\dot y^2}\;dt$
[/mm]
Also:
[mm] $s=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*sin^2(t) +b^2*cos^2(t)}\;dt=4a*\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}*cos^2(t)}\;dt$
[/mm]
[mm] $s=4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}*(1-sin^2(t))}\;dt [/mm] = [mm] 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}-\bruch{b^2}{a^2}*sin^2(t)}\;dt$
[/mm]
$s= [mm] 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{(1-\bruch{b^2}{a^2})*sin^2(t)+\bruch{b^2}{a^2}}\;dt$
[/mm]
$s= [mm] 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{k^2*sin^2(t)+\bruch{b^2}{a^2}}\;dt$
[/mm]
Wenn ich nun von der Lösung ausgehe, dann bekomme ich:
$U= [mm] 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-k^2*sin^2(t)}\;dt$
[/mm]
$U= [mm] 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2-(a^2-b^2)*sin^2(t)}\;dt$
[/mm]
$U= [mm] 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2(1-sin^2(t))+b^2*sin^2(t)}\;dt$
[/mm]
$U= [mm] 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*cos^2(t)+b^2*sin^2(t)}\;dt$
[/mm]
Und was hier unter der Wurzel steht ist ja:
[mm] $s=\int [/mm] | [mm] \overrightarrow{r} [/mm] | [mm] \;dt$
[/mm]
und nicht:
[mm] $s=\int [/mm] | [mm] \overrightarrow{\dot r} [/mm] | [mm] \;dt$
[/mm]
Wo habe ich mich verirrt?
Besten Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo Al Chwarizmi,
>
> besten Dank für die Antwort - dadurch bin ich der Lösung
> näher gekommen; ich habe aber noch folgendes Problem:
>
> Die Parametergleichung für die Ellipse ist ja:
>
> [mm]\vektor{x(t)\\y(t)}\ =\ \vektor{a\cdot{}cos(t)\\b\cdot{}sin(t)}\qquad 0\le t\le 2\cdot{}\pi[/mm]
>
>
> Und ihre erste Ableitung:
>
> [mm]\vektor{ \dot x(t)\\\dot y(t)}\ =\ \vektor{-a\cdot{}sin(t)\\b\cdot{}cos(t)}\qquad 0\le t\le 2\cdot{}\pi[/mm]
>
>
>
> Nun sagt meine Formelsammlung:
>
> [mm]s=\int | \overrightarrow{\dot r} | \;dt=\int \sqrt{\dot x^2 +\dot y^2}\;dt[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]s=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*sin^2(t) +b^2*cos^2(t)}\;dt=4a*\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}*cos^2(t)}\;dt[/mm]
>
> [mm]s=4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}*(1-sin^2(t))}\;dt = 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{sin^2(t) +\bruch{b^2}{a^2}-\bruch{b^2}{a^2}*sin^2(t)}\;dt[/mm]
>
> [mm]s= 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{(1-\bruch{b^2}{a^2})*sin^2(t)+\bruch{b^2}{a^2}}\;dt[/mm]
>
> [mm]s= 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{k^2*sin^2(t)+\bruch{b^2}{a^2}}\;dt[/mm]
>
>
>
>
> Wenn ich nun von der Lösung ausgehe, dann bekomme ich:
>
> [mm]U= 4a*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-k^2*sin^2(t)}\;dt[/mm]
>
> [mm]U= 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2-(a^2-b^2)*sin^2(t)}\;dt[/mm]
>
> [mm]U= 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2(1-sin^2(t))+b^2*sin^2(t)}\;dt[/mm]
>
> [mm]U= 4*\int_{0}^{2\pi} \sqrt{a^2*cos^2(t)+b^2*sin^2(t)}\;dt[/mm]
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>
> Und was hier unter der Wurzel steht ist ja:
>
> [mm]s=\int | \overrightarrow{r} | \;dt[/mm]
>
>
> und nicht:
>
> [mm]s=\int | \overrightarrow{\dot r} | \;dt[/mm]
>
>
> Wo habe ich mich verirrt?
Bei Deinen Ausführungen hast Du die falsche Parametrisierung gewählt.
Die hier benutzte Parametrisierung lautet:
[mm]\vektor{x(t)\\y(t)}\ =\ \vektor{a\cdot{}\blue{sin(t)}\\b\cdot{}\blue{cos(t)}}\qquad 0\le t\le 2\cdot{}\pi[/mm]
Dann stimmt das auch mit
[mm]s=\int | \overrightarrow{\dot r} | \;dt[/mm]
>
> Besten Dank für einen Hinweis.
>
> LG, Martinius
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Do 26.08.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
besten Dank für den Hinweis!
LG, Martinius
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