elliptischer Kegel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:00 Mi 08.07.2015 | | Autor: | egon111 |
| Aufgabe | | Flaechenintegral [mm] :\integral\integral_{E}{\wurzel{x^{2}+y^{2}} do} [/mm] mit E: [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=\bruch{z^2}{c^2} [/mm] 0<=z<=c |
Ansatz: Mantelfläche wird als ein Flächenstück betrachtet über einem Parametergebiet. Parametrisierung:[ [mm] x:=\bruch{a}{c}*r*cos(k); y:=\bruch{b}{c}*r*sin(k); [/mm] z:=r]=I(r,k) , wobei 0<=r<=c und 0<=k<=2*PI [mm] ist.I_{r}=[ x:=\bruch{a}{c}*cos(k); y:=\bruch{b}{c}*sin(k); [/mm] z:=1] und [mm] I_{k}=[ x:=-\bruch{a}{c}*r*sin(k); y:=\bruch{b}{c}*r*cos(k); [/mm] z:=0]. Das Kreuzprodukt von beiden ist [mm] r*[\bruch{-b*cos(k)}{c};\bruch{a*sin(k)}{c};\bruch{a*b}{c^2}].
[/mm]
Also ist [mm] do=r*\wurzel{\bruch{b^{2}*cos(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*sin(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*b^{2}}{c^{4}}}drdk.
[/mm]
Also ergibt dies [mm] \integral\integral_{E}{r^{2}*\wurzel{(\bruch{a*cos(k)}{c})^{2}+(\bruch{b*sin(k)}{c})^{2}}*\wurzel{\bruch{b^{2}*cos(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*sin(k)^{2}}{c^{2}}+\bruch{a^{2}*b^{2}}{c^{4}}}drdk }
[/mm]
Das ist aber kaum zu integrieren. Der Ansatz ist also nicht hilfreich.... Wie könnte man das alternativ elegant parametrisieren?
Willkommen in der elliptischen Hölle
Egon
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Fr 10.07.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
versuch es doch mal mit zylindrischen Koordinaten
[mm] $$\Phi(r,\varphi,\eta)=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),\eta).$$
[/mm]
Ich bin auf den Definitionsbereich [mm] $A\times]0,2\pi[\times]0,c[$ [/mm] gekommen, wobei
[mm] $$A:=\left\{\frac{\eta ab}{c\sqrt{a^2\sin^2(\varphi)+b^2\cos^2(\varphi)}}|\eta\in]0,c[,\varphi\in]0,2\pi[\right\}$$
[/mm]
ist. Es ist [mm] $|det(D\Phi)|=r$. [/mm] Wende nun die Transformationsformel an und erhalte mit [mm] $\sqrt{r^2(\sin(\varphi)+\cos(\varphi))}=r$
[/mm]
[mm] $$\int_{A\times]0,2\pi[\times]0,c[}r^2d\lambda(r,\varphi,\eta).$$
[/mm]
Anschließend kannst du es mit Tonelli/Fubini ausrechnen.
Ist etwas schnell heruntergeschrieben. Es ist also durchaus möglich, dass es nicht klappt. Mit kritischem Auge lesen. 
Ich stelle die Antwort also so lange mal auf "reagiert". Vielleicht probierst du es mal aus.
VG
Ladon
PS: Ich bin davon ausgegangen, dass du das Lebesgue-Integral meinst.
|
|
|
|
