elliptisch-zylindrische Koord. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Di 21.10.2008 | | Autor: | eric84 |
Hallo!
Erstma hoffe ich, dass ich das richtige Unterforum erwischt habe 
Habe die Frage auch in einem anderem Forum gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110392&start=0&lps=804448#v804448
Nun zu meiner Frage:
Es geht um eine Koordinatentransformation von kartesischen zu elliptisch-zylindrischen Koordinaten mit den Gleichungen
X(u,v,w)=a*cosh(u)*cos(v)
y(u,v,w)=a*sinh(u)*sin(v)
z(u,v,w)=w
mit
[mm] \fedon\mixonv \el\ [0,2\pi[, u,w\el\ \IR
[/mm]
[mm] \fedoff
[/mm]
Als erstes soll ich die Metrikkoeffizienten folgendermaßen ausrechnen:
[mm] h_u=\wurzel{(\bruch{\delta x}{\delta u})^2 + (\bruch{\delta y}{\delta u})^2 + (\bruch{\delta z}{\delta u})^2}
[/mm]
[mm] \fedoff [/mm]
[mm] h_v [/mm] und [mm] h_w [/mm] berechnen sich ähnlich.
Nun habe ich x, y und z von oben nach u abgeleitet und eingesetzt. Wir sollen außerdem so weit wie möglich vereinfachen. Mein Ergebnis lautet:
[mm] h_u=\wurzel{(a*cos(v)*sinh(u))^2+(a*sin(v)*cosh(u))^2}
[/mm]
[mm] \fedoff=a*\wurzel{sinh^2(u)+sin^2(v)}
[/mm]
Gibt es noch eine andere Möglichkeit zu vereinfachen? Denn für die folgende Aufgabe, ist dieser Ausdruck nicht gerade von Vorteil.
So jetzt aber zum eigentlichen Problem:
Ich soll die Einheitsvektoren [mm] e_u, e_v [/mm] und [mm] e_w [/mm] mit Hilfe der kartesischen Koordinaten ausdrücken!
Ich weiß, dass ich so
[mm] \vec{e_u}=h_u*(\bruch{\delta \vec{r}}{\delta u})
[/mm]
[mm] e_u [/mm] berechnen kann. Aber dann ist dieser doch nicht von den kartesischen Koordinaten abhängig, sondern weiter von u, v und w.
Wie komme ich hier weiter? Habe auch versucht die Transformationsgleichung nach u oder v umzustellen und hier einzusetzen. Doch auch das klappte nicht, bzw. gäbe einen sehr langen Ausdruck.
Ich würde mich wirklich sehr freuen, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte. 
viele Grüße
Eric
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 23.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Eric!
> Hallo!
> Erstma hoffe ich, dass ich das richtige Unterforum
> erwischt habe
Eigentlich gehört das eher in die Differentialgeometrie
> Es geht um eine Koordinatentransformation von kartesischen
> zu elliptisch-zylindrischen Koordinaten mit den
> Gleichungen
>
> X(u,v,w)=a*cosh(u)*cos(v)
> y(u,v,w)=a*sinh(u)*sin(v)
> z(u,v,w)=w
>
> mit
> [mm]\fedon\mixonv \el\ [0,2\pi[, u,w\el\ \IR[/mm]
> [mm]\fedoff[/mm]
>
> Als erstes soll ich die Metrikkoeffizienten folgendermaßen
> ausrechnen:
> [mm]h_u=\wurzel{(\bruch{\delta x}{\delta u})^2 + (\bruch{\delta y}{\delta u})^2 + (\bruch{\delta z}{\delta u})^2}[/mm]
>
> [mm]\fedoff[/mm]
>
> [mm]h_v[/mm] und [mm]h_w[/mm] berechnen sich ähnlich.
>
> Nun habe ich x, y und z von oben nach u abgeleitet und
> eingesetzt. Wir sollen außerdem so weit wie möglich
> vereinfachen. Mein Ergebnis lautet:
> [mm]h_u=\wurzel{(a*cos(v)*sinh(u))^2+(a*sin(v)*cosh(u))^2}[/mm]
> [mm]\fedoff=a*\wurzel{sinh^2(u)+sin^2(v)}[/mm]
>
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit zu vereinfachen? Denn
> für die folgende Aufgabe, ist dieser Ausdruck nicht gerade
> von Vorteil.
Ich glaube nicht, dass sie dieser Ausdruck einfacher schreiben lässt.
> So jetzt aber zum eigentlichen Problem:
> Ich soll die Einheitsvektoren [mm]e_u, e_v[/mm] und [mm]e_w[/mm] mit Hilfe
> der kartesischen Koordinaten ausdrücken!
>
> Ich weiß, dass ich so
> [mm]\vec{e_u}=h_u*(\bruch{\delta \vec{r}}{\delta u})[/mm]
>
> [mm]e_u[/mm] berechnen kann. Aber dann ist dieser doch nicht von den
> kartesischen Koordinaten abhängig, sondern weiter von u, v
> und w.
Du musst [mm] $\vec{r}$ [/mm] durch die kartesischen Einheitsvektoren ausdrücken. Es gilt doch:
[mm]\vec{r} = x \vec{e}_x + y \vec{e}_y + z \vec{e}_z [/mm],
also ist
[mm]\vec{e_u}=h_u*\bruch{\partial \vec{r}}{\partial u} = h_u \left( \bruch{\partial x}{\partial u}\vec{e}_x + \bruch{\partial y}{\partial u}\vec{e}_y + \bruch{\partial z}{\partial u}\vec{e}_z \right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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